Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Откуда ∫d(uv)= ∫udv + ∫vdu . Учитывая, что ∫d(uv)= uv + C , получим

uv = ∫udv + ∫vdu

или

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.

Применим, например, формулу (1.12) к функциям u(x)= x и v(x)= ex :

∫x d(ex )= x ex − ∫ex d(x).

Так как d(ex )= ex dx , а d(x)= dx , то получили равенство, в котором интеграл, стоящий в правой части, табличный:

∫xex dx = x ex − ∫ex dx = xex − ex + C .

Формула интегрирования по частям позволила выразить интеграл, в котором присутствовали степенная и показательная функции, через интеграл, в котором одна из этих функций (степенная) исчезла, являющийся табличным. Это произошло потому, что у некоторых функций производная «лучше», чем сама функция, например у степенной функции с целым показателем,

подынтегральная функция содержит множителем одну из перечисленных функций и нельзя избавиться от этой функции, заменяя ее новой переменной, то применяют формулу интегрирования по частям, в которой в качестве u(x)

берут эту «неудобную» функцию.

Формула интегрирования по частям всегда применяется для интегралов

Рассмотрим подробнее применение формулы (1.12). Пример 1.22. Вычислить интеграл ∫xsin 2xdx .

Применим формулу (1.12). Обозначим u = x , dv = sin 2xdx.

Если ввести обозначение u и dv , то для применения формулы (1.12) остается по выбранной функции u найти ее дифференциал du = u′ dx, а по заданному дифференциалу dv неизвестной функции v найти эту функцию. Очевидно,

∫dv = v + C , поэтому в качестве v можно взять любую из функций, найденных при интегрировании, взяв конкретное значение постоянной С. В

21

v = ∫ex dx = ex + C (C = 0).

По формуле (1.12) получим

∫(x2 + 7x − 5)ex dx = (x2 + 7x − 5)ex − ∫(2x + 7)ex dx .

Кполученному в правой части интегралу снова применим формулу интегрирования по частям, где

u = 2x + 7 , dv = ex dx ; du = 2dx , v = ex .

Тогда

∫(2x + 7)ex dx = (2x + 7)ex − 2∫ex dx = (2x + 7)ex − 2ex + C .

Окончательно

∫(x2 + 7x − 5)ex dx = (x2 + 7x − 5)ex − (2x + 7)ex + 2ex + C =

=ex (x2 + 7x − 5 − 2x − 7 + 2)+ C = ex (x2 + 5x −12)+ C .

22

Пример 1.24. Вычислить интеграл ∫x2 ln xdx .

Пример 1.25. Вычислить интеграл ∫x arctg x dx .

Избавимся от функции arctg x, применив формулу (1.12). Положим

при этом

∫1xdx− x2 = −12∫ dtt = −t + C = −1 − x2 + C .

Окончательно получаем

∫arcsin xdx = xarcsin x + 1 − x2 + C .

23

Иногда подынтегральная функция – это произведение двух «плохих» функций, от которых нельзя избавиться, т.к. их производные не лучше, чем сами функции. В некоторых случаях двукратное применение формулы (1.12) позволяет выразить искомый интеграл через самого себя. В итоге получается линейное уравнение относительно искомого интеграла.

Пример 1.27. Вычислить интеграл I = ∫e2 x cos xdx .

В подынтегральном выражении произведение двух «плохих» функций e2 x и . Применим формулу (1.12), где

u = e2 x , dv = cos xdx ; тогда du = 2e2 x dx , v = sin x .

Получим

I= ∫e2 x cos xdx = e2 x sin x − 2∫e2 x sin xdx .

Кинтегралу в правой части равенства снова применим формулу интегрирования по частям, взяв u = e2 x , dv = sin xdx ; du = 2e2 x dx , v = −cos x .

Тогда ∫e2 x sin xdx = −e2 x cos x + 2∫e2 x cos xdx = −e2 x cos x + 2I .

Подставляя полученное выражение в предыдущее равенство, имеем

I = e2 x sin x − 2(− e2 x cos x + 2I ).

Получилось линейное уравнение относительно I :

I = e2 x (sin x + 2cos x)− 4I , откуда 5I = e2 x (sin x + 2cos x).

Учитывая, что I – это неопределенный интеграл, имеем

I = ∫e2 x cos xdx = e2 x sin x + 2e2 x cos x + C . 5

Все методы интегрирования исчерпываются рассмотренными ранее методами замены переменной, интегрирования по частям и использованием свойств неопределенного интеграла. Далее мы рассмотрим некоторые классы функций, для интегрирования которых разработан план применения методов интегрирования.

1.6. Интегрирование рациональных функций

Рациональная функция, обозначаемая R(x),- это функция, представимая в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов:

Не ограничивая общность рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.

24

Если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, то дробь называется правильной, а в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

Здесь M(x) – многочлен, называемый целой частью неправильной дроби, а

F((x)) – правильная дробь. f x

Пример 1.28. Преобразовать неправильную рациональную дробь

Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим

числителя на знаменатель.

Проинтегрировать многочлен просто, поэтому основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

называются простейшими дробями.

При интегрировании дробей типа I, II, используются табличные интегралы 1, 2 и формула (1.10). Интегрирование дробей типа III было подробно рассмотрено ранее в п. 1.5. Поэтому мы повторим кратко их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:

25