Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

5.2. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке

1. Выборка как набор случайных величин. Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении объекта из генеральной совокупности становится известным значение х признака X этого объекта. Таким образом, мы можем рассматривать извлечение объекта из генеральной совокупности как испытание, Х  как случайную величину, а х  как одно из возможных значений X.

Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, к какому типу распределений относится признак X. Естественно, возникает задача оценки (приближенного нахождения) параметров, которыми определяется это распределение. Например, если известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить, т.е. приближенно найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки генеральной совокупности, например значения количественного признака , полученные в результате п наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Опытные значения признака X можно рассматривать и как значения разных случайных величин Х₁, Х₂,..., Х_n с тем же распределением, что и X, и, следовательно, с теми же числовыми характеристиками, которые имеет X. Значит, М(Х_i) = М(Х) и D(X_i) = D(X). Величины Х₁, Х₂,..., Х_n можно считать независимыми в силу независимости наблюдений. Значения в этом случае называют реализациями случайных величин Х₁, Х₂, ..., Х_n. Отсюда и из предыдущего следует, что найти оценку неизвестного параметра  значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин Х₁, Х₂, ..., Х_n, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

2. Генеральная и выборочная средние. Методы их расчета. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N относительно количественного признака X.

Определение 1. Генеральной средней (или а) называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения признака генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения признака имеют соот-ветственно частоты N₁, N₂,..., N_k, причем N₁ + N₂ + ... + N_k = N, то или

(1)

Как уже отмечалось (см. п. 1), извлечение объекта из генеральной совокупности есть наблюдение случайной вели-чины X. Пусть все значения различны. Так как каждый объект может быть извлечен с одной и той же веро-ятностью , то т.е.

(2)

Такой же итог следует, если значения х₁, х₂, …, x_k имеют соответственно частоты N₁, N₂, ..., N_k.

В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают = М(Х).

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X произведена выборка объема п.

Определение 2. Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки объема п различны, то

(3)

Если же значения признака х₁, х₂, ..., x_k имеют соответственно частоты , причем , то или

(4)

Пример 1. Выборочным путем были получены следующие данные о массе 20 морских свинок при рождении (г) 30, 30, 25, 32, 30, 25, 33, 32, 29, 28, 27, 36, 31, 34, 30, 23, 28, 31, 36, 30. Найти выборочную среднюю .

Решение. Согласно формуле (4)

Итак, = 30 г.

Для облегчения вычислений можно использовать калькулятор. То же следует иметь в виду и в ряде других примеров.

Ниже, не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения признака различными.

Разумеется, выборочная средняя для различных выборок того же объема п из той же генеральной совокупности будет получаться, вообще говоря, различной. И это не удивительно  ведь извлечение i-го по счету объекта есть наблюдение случайной величины , а их среднее арифметическое

есть тоже случайная величина.

Таким образом, всевозможные могущие получиться выборочные средние есть возможные значения случайной величины , которая называется выборочной средней случайной величиной.

Найдем М( ), пользуясь тем, что М(Х_i) = М(Х). С учетом свойств математического ожидания получаем

Итак, М( ) (математическое ожидание выборочной средней) совпадает с а (генеральной средней).

Теперь найдем D( ). Так как D(Х_i) = D(X) и независимы, то согласно свойствам дисперсии получаем

т.е.

(5)

Наконец, отметим, что если варианты х_i  большие числа, то для облегчения вычисления выборочной средней применяют следующий прием. Пусть С  константа. Так как

то формула (3) преобразуется к виду

(6)

Константу С (так называемый ложный нуль) берут такой, чтобы, во-первых, разности х_i  С были небольшими и, во-вторых, число С было по возможности «круглым».

Пример 2. Имеется выборка:

Берем С = 72,00 и вычисляем разности

Их сумма их среднее арифметическое Выборочная средняя

3. Генеральная и выборочная дисперсии. Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят следующую характеристику  генеральную дисперсию.

Определение 1. Генеральной дисперсией D_г называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней .

Если все значения признака генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения признака имеют соот-ветственно частоты N₁, N₂, ... , N_k, причем N₁+N₂ + ... + N_k = N, то

(7)

Пример 3. Генеральная совокупность задана таблицей распределения

Найти генеральную дисперсию.

Решение. Согласно формулам (1) и (7)

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется .

Пусть все значения х₁, х₂,..., x_n различны. Найдем дисперсию признака X, рассматриваемого как случайную величину:

Так как М(Х) = и Р{ X = х_i} = , то

т.е. Таким образом, дисперсия D(X) равна

Такой же итог следует, если значения имеют соответственно частоты N₁, N₂, ... , N_k.

В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают

(8)

С учетом формулы (8) формула (5) (п. 2) перепишется в виде откуда или .

Величину называют средней квадратической ошибкой.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят нижеследующую характеристику.

Определение 2. Выборочной дисперсией D_в называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака Х от выборочной средней .

Если все значения признака выборки объема п различны, то

(9)

Если же значения признака имеют соответст-венно частоты , причем п₁ + п₂ + ... + n_k = п, то

(10)

Пример 4. Выборочная совокупность задана таблицей распределения

Найти выборочную дисперсию.