Материал: Источник теоретического материала

Лекция 4

Система сил, произвольно расположенных в одной плоскости. Сложение сил. Условия и уравнения равновесия сил. Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона).

Система сил, произвольно расположенных в одной плоскости. Сложение сил. Условия и уравнения равновесия сил

«Плоская» система сил – частный случай сил, произвольно расположенных в пространстве. И в этом случае в результате сложения сил методом приведения их к центру получаются сила и пара сил. Сила, приложенная к центру, равная геометрической сумме заданных сил, - главный вектор , а момент пары сил, равный алгебраической сумме моментов присоединенных пар сил, т.е. равный алгебраической сумме моментов заданных сил относительно центра – главный момент заданных сил . В этом случае не показывается вектор момент каждой присоединенной пары сил (он перпендикулярен к плоскости, в которой расположены силы), а показывается момент в виде круговой стрелки, обозначающей возможный поворот тела вокруг оси Oz, перпендикулярной к плоскости xOy, против хода или по ходу часовой стрелки. В первом случае моменту силы относительно точки О приписывается знак «плюс», а во втором – знак «минус» (см. рис.4.1).

Рис.4.1

Условия равновесия сил, как и в общем случае, и . Отсюда получаем 3 уравнения равновесия, используемые для решения задач, - ; ; (силы расположены в плоскости xOy).

Система параллельных сил Сложение сил. Условия и уравнения равновесия сил

С истема параллельных сил – частный случай сил, произвольно расположенных в пространстве. И в этом случае в результате сложения сил методом приведения их к центру получим силу и пару сил. Сила, приложенная к центру, - главный вектор: его модуль равен абсолютному значению алгебраической суммы параллельных сил , а направлен вектор вдоль оси Oz (см.рис.4.2) в сторону орта , если , и в противоположную сторону, если . Рис.4.2

Момент пары сил, равный геометрической сумме моментов сил относительно центра О, - главный момент системы параллельных сил относительно центра.

Вектор в этом случае лежит в плоскости xOy, т.е. . Определить величину и направление вектора можно по формулам:

;

; .

Условия равновесия сил: и , что дает три уравнения равновесия: ; ;

(силы параллельны оси Oz).

Если параллельные силы лежат в одной плоскости (например, в плоскости xOy), то при равновесии они должны удовлетворять двум условиям: и , т.е. ; .

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)

Момент равнодействующей системы сил относительно некоторого центра равен геометрической сумме моментов заданных сил относительно того же центра.

Доказательство теоремы можно провести, ориентируясь на рис.5.2, где - равнодействующая, а ее момент относительно центра О равен главному моменту системы сил относительно того же центра. Учитывая, что , получаем, что момент равнодействующей относительно центра О равен геометрической сумме сил, приложенных к телу, относительно того же центра:

. (А)

В случае сил, произвольно расположенных на плоскости, момент равнодействующей относительно центра равен алгебраической сумме моментов сил относительно того же центра: .

Так как сходящиеся силы представляют собой частный случай сил, произвольно расположенных в пространстве (или на плоскости), то полученный выше вывод относится и к моменту равнодействующей сходящихся сил относительно любой точки тела, кроме той точки, где пересекаются линии действия сил.

Проектируя обе части равенства (А) на оси декартовых координат, получим скалярные равенства, из которых следует, что момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно той же оси:

.

Лекция 5 Статический расчет плоских ферм

Расчет усилий в стержнях ферм. «Способ вырезания узлов». Леммы о нулевых стержнях. Способ сечений (способ Риттера).

Расчет усилий в стержнях фермы

Фермой (в теоретической механике) называется шарнирно-стержневая конструкция, нагрузка на которую осуществлена силами, приложенными к узлам (шарнирам). При этом предполагается, что каждый стержень не обладает массой и не деформируется. Такая идеализированная конструкция часто используется в качестве расчетной схемы реальной конструкции (на первом этапе расчета, позволяющем предварительно оценить характер «работы» каждого стержня, зная усилия в них, появляющиеся в результате нагрузки на конструкцию).

Существуют различные способы определения усилий в стержнях фермы (рассматриваются ниже плоские фермы).

7.1. «Способ вырезания узлов»

О пределив реакции опор, можно приступить к расчету усилий в стержнях. Проводим сечение – вырезаем узел А (см. рис.5.1).

Рис.5.1

В узле сходятся 2 стержня, усилие в которых неизвестны. Два уравнения равновесия сил, приложенных к узлу, позволяют найти искомые усилия. Именно поэтому расчет начинаем с узла А, а не с узла С, где сходятся 3 стержня (подойти к узлу С придется только после того, как будет определено усилие в одном из стержней, чтобы два уравнения равновесия сил, приложенных к узлу С, позволили найти усилия в двух других стержнях).

Последовательный обход узлов фермы позволяет определить усилия во всех стержнях.

Проверку расчета иногда делают построением силового многоугольника для каждого узла фермы. Ниже приводится в качестве примера подробный расчет усилий в стержнях фермы и делаются выводы о «работе» каждого стержня.

Дано: Схема фермы (рис.7.1). кН, кН, α = 45⁰. Определить: усилия в стержнях фермы.

Находим реакции опор, составляя три уравнения равновесия:

;

; .

Из этих уравнений следует:

кН; кН;

кН; кН.

Узел А (см. рис.5.1). Принимаем условно, что стержни, соединенные шарнирно в узле А, работают на растяжение. Тогда реакции стержней, приложенные к узлу А, надо направить от узла внутрь стержня (вдоль оси стержня, т.к. стержень считается невесомым). Используем 2 уравнения равновесия, обозначив реакции стержней буквой S:

; .

Отсюда кН, кН.

Приходим к узлу С, где сходятся три стержня 2, 3 и 4. Составляем два уравнения равновесия сил:

;

.

Отсюда получаем: ; кН.

Составляя уравнения равновесия сил, приложенных к узлу D, получим:

;

.

Отсюда: кН; кН.

Переходим к узлу N:

;

.

Отсюда: кН; кН.

Для узла В:

;

.

Отсюда: кН.

Уравнения равновесия сил для узла Е станут проверкой решения:

;

.

Итак, стержни 1, 5 и 9 «работают» на растяжение, стержни 2, 4, 6 и 8 – на сжатие, а 3 и 7 – нулевые.

Способ сечений (способ Риттера)

Рассмотрим ту же ферму (рис.5.2) с той же нагрузкой при найденных уже ранее реакциях опор.

П оставим задачу: определить усилия в стержнях 6, 7 и 9 независимо от усилий в других стержнях. Проведем сечение (разрез) I–I через 3 стержня (рис.5.2), отбросим левую часть фермы, направив реакции рассеченных стержней в сторону отброшенной части (считая, что стержни 6, 7 и 9 «работают» на растяжение).

Рис.5.2

К правой части фермы приложены силы , , и , лежащие в вертикальной плоскости. Эти силы должны удовлетворять трем уравнениям равновесия. Решая эту задачу, следует составлять такие уравнения, чтобы усилие в каждом стержне определить независимо от усилий в других стержнях, попавших в сечение. В нашем случае эти уравнения следующие:

, что дает ;

, что дает кН;

, откуда кН.

Точка В, где сходятся стержни 6 и 9, и точка Е, где сходятся стержни 7 и 9, и точка N, где сходятся стержни 6 и 7, называются точками Риттера. При решении задачи отброшена левая часть фермы, т.к. к ней приложено больше сил. Это уменьшает трудоемкость решения, хотя можно было бы отбросить и правую часть, учитывая при решении силы, приложенные к левой части ( , , , , , , ). Для них уравнения равновесия имели бы другой вид. Естественно, результат расчета в этом случае был бы таким же, как и в первом случае (и точки Риттера сохранились бы).