Материал: Источник теоретического материала

Найдем производную от скорости i-той точки системы по обобщенной скорости : . (15.2)

Теперь запишем для рассматриваемой механической системы общее уравнение динамики в форме: .

Подставим в это уравнение (17.1): .

Внесем заданную силу и силу инерции под знаки внутренних сумм, так как они не зависят от индекса j: .

Поменяем местами порядок суммирования и вынесем общий множитель из внутренних сумм: .

Это уравнение перепишем в виде: . (15.3)

Здесь обозначено

, (15.4)

,

где Q_j– обобщенная задаваемая сила, соответствующая j-той обобщенной координате; – обобщенная сила инерции, соответствующая j-той обобщенной координате.

Если задаваемые силы не зависят от обобщенных скоростей , то есть , то силу в выражении (15.4) можно внести под знак производной:

, (15.5)

где – мощность i-той силы; .

Суммарная мощность всех сил, действующих на систему:

. (15.6)

Для системы с одной степенью свободы имеем: .

Отсюда . (15.7)

Так как обобщенные скорости могут принимать произвольные значения, то равенство (15.3) может иметь место только при выполнении условия:

(j=1,…,s). (15.8)

Уравнение (15.8) отражает смысл общего уравнения динамики в обобщенных силах: для системы с голономными двусторонними идеальными связями в любой момент времени сумма обобщенной задаваемой силы и обобщенной силы инерции, соответствующих каждой обобщенной координате, равна нулю.

Уравнения Лагранжа II рода

Предположим, что механическая система, состоящая из n точек, имеет s степеней свободы, и на нее наложены голономные двусторонние стационарные идеальные связи. Движение такой системы относительно заданной системы отсчета описывается совокупностью из s обобщенных координат q₁, q₂,…,q_s, являющихся функциями времени: q_j= q_j(t) (j=1,…,s).

Радиус-вектор i-той точки системы является некоторой функцией обобщенных координат , представляя собой сложную функцию времени. Поэтому скорость i-той точки определяется по формуле (15.1).

Кинетическая энергия механической системы определяется по формуле:

.

Найдем частные производные от кинетической энергии Т по обобщенной координате и обобщенной скорости :

; (15.9)

. (15.10)

Если в (15.10) подставить (15.2), то получим: .

Продифференцируем это выражение по времени:

. (15.11)

Преобразуем первое и второе слагаемые этого равенства. Первое слагаемое с учетом выражения (15.4) принимает вид:

. (15.12)

Теперь рассмотрим второе слагаемое в выражении (15.11), но предварительно найдем две производные:

; (15.13)

. (15.14)

Сравнивая равенства (15.13) и (15.14), получаем:

. (15.15)

Таким образом, второе слагаемое в выражении (15.11) с учетом формулы (15.8) приобретает вид:

. (15.16)

Подставим (15.12) и (15.16) в (15.11) и получим: .

Окончательно, уравнения Лагранжа II рода записывают следующим образом:

(j=1,…,s). (15.17)

Уравнения Лагранжа II рода представляют собой удобный аппарат для получения дифференциальных уравнений движения механических систем с s степенями свободы. Особенностью этих уравнений является то, что они не включают в себя опорных реакций.

Уравнения Лагранжа II рода для случая сил, имеющих потенциал

Рассмотрим механическую систему с s степенями свободы, движение которой ограничено голономными двусторонними стационарными идеальными связями. Пусть при этом на точки системы действуют силы, имеющие потенциал. В таком случае проекции X_i, Y_i, Z_i сил на оси координат выражаются формулами:

; , , (15.18)

где =(x,y,z)– потенциальная энергия системы.

Подставим (15.18) в (15.4):

.

Таким образом, в случае сил, имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая j-той обобщенной координате, равна взятой со знаком минус частной производной от потенциальной энергии механической системы по этой координате: (j=1,…,s). (15.19)

Если на механическую систему действуют только консервативные силы, то уравнения Лагранжа II рода (15.17) приобретают вид:

(j=1,…,s). (15.20)

Эти уравнения можно преобразовать путем введения так называемой функции Лагранжа L=T–, (15.21)

называемой еще кинетическим потенциалом.

Так как потенциальная энергия системы  не зависит от обобщенных скоростей, то . (15.22)

Выразив Т из (15.21) и подставив в (15.20) с учетом (15.22), получим уравнения Лагранжа II рода для консервативных систем:

(j=1,…,s). (15.23)

Лекция 15

Устойчивость положения равновесия механической системы. Теорема Лагранжа-Дирихле. Критерий Сильвестра

Среди всех процессов, протекающих в природе и современной технике, огромное значение имеют колебательные движения различных динамических систем (движение электрического заряда в колебательном контуре, вибрации станков, различных приборов, деталей инженерных сооружений, транспортных средств и т.д.). При неблагоприятном стечении обстоятельств колебания механических систем могут вызвать большие деформации и напряжения в их элементах, а также привести к быстрому износу и даже разрушению конструкций.

В теории колебаний исследуются колебательные явления в динамических системах различной природы (механической, электрической, биологической и т.д.), выявляются их общие свойства, а также связь между движением и параметрами колебательных систем. На основе положений, устанавливаемых теорией колебаний, появляется возможность для создания приборов, машин, конструкций и специальных устройств (гасителей колебаний, вибростендов, вибротранспортеров, виброуплотнителей бетона и т.д.) с оптимальными параметрами, при которых обеспечивается максимальная производительность технологических процессов.

Кинетическая энергия механической системы с одной, двумя и s степенями свободы

Выясним, какова зависимость кинетической энергии механической системы от обобщенных скоростей .

Рассмотрим механическую систему с s степенями свободы с голономными стационарными связями. Радиус-вектор i-той точки системы является функцией s обобщенных координат: . Поэтому скорость каждой точки системы определяется по формуле (17.1)

. (16.1)

Подставим это выражение в (10.7):

.

Отсюда видно, что кинетическая энергия системы с s степенями свободы, движение точек которой ограничено голономными стационарными связями, представляет собой положительно определенную однородную квадратичную форму обобщенных скоростей:

, (16.2)

где − так называемые коэффициенты инерции системы, в общем случае являющиеся нелинейными функциями обобщенных координат . Очевидно, что эти коэффициенты симметричны относительно индексов k и l ( ).

Кинетическая энергия (16.2) может быть записана в матричной форме

, (16.3)

где − вектор-столбец обобщенных скоростей; − транспонированный вектор-столбец обобщенных скоростей (вектор-строка); − матрица инерции системы.

Матрица А является симметричной (А_ij=A_ji). Кроме того, можно доказать, что матрица А является невырожденной ( ).