Материал: Математика. вводный курс . учебное пособие для иностранных граждан слушателей подготовительного отделения. Некрасова Н.Н., Горяйнов В.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	2		2		b	b		2		b 2		b2
x		bx c x		2		x			c x		c		.
					2		2					4
										2

Это представление называют выделением полного квадрата в квадратном трехчлене.

На практике удобно пользоваться стандартным приемом в математике «прибавить – отнять» и «умножить – разделить». Рассмотрим этот подход на примерах.

Выделим полный квадрат в трехчленах:

1. x2 6x 1 ( x2 6x ) 1 (x2 2 x 3 32 ) 32 1 (x 3)2 8;

	представим	сворачиваем в формулу
	в виде суммы
		квадрата суммы
	трех слагаемых


																	5		5	2			5	2				5	2	9
		2									2						5		5				5					5		9
2. x			5x					4		x				2 x										4		x					;
2. x			5x					4		x				2 x										4		x					;
	представим																2		2				2					2		4
	в виде суммы												домножим и
	трех слагаемых												разделим на 2
													разделим на 2
				2								2			7			2				2			7	7	2		7	2		2
3.		3x			7x				2	3 x						x			3	x			2 x
3.		3x			7x				2	3 x					3	x		3	3	x			2 x		6							3
															3			3							6	6			6			3

						7	2		49		24								7 2		73
	3	x												3			x						.
	3	x				6								3			x				36		.
						6			36 36										6		36

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

55. Выделить полный квадрат:

1)	x2 2x 10;	6)	4x2 3x 6;				11)	2x2 4x 9;
2)	x2 8x 5;	7)	x2 2x 4;				12)	x2	13x;
3)	x2 10x;	8)	2x2 10x 3;				13)	x2	7x 5;
4)	2x2 3x 1;	9)	0,3x2			12x 125;	14)	x2	x 1;
5)	3x2 24x 43;	10)		1	x2	8x 3;	15)	5x2 20x 4.
5)	3x2 24x 43;	10)			x2	8x 3;	15)	5x2 20x 4.
			2

Тема 2. Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители – значит записать его как произведение одночленов и многочленов.

Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Рассмотрим каждый способ разложения отдельно:

1. Вынесение общего множителя за скобки;

9a2b 3ab2 27a 3a(3ab b2 9)	(3a – общий множитель);
(x y)2 3(x y) (x y)(x y 3) ,	(x y) – общий множитель.

2. Группировка членов;

ax xy am ym x(a y) m(a y) (a y)(x m);

группа группа

ac a bc b ac bc a b c(a b) (a b) (a b)(c 1).

группа группа

3. Применение формул сокращенного умножения;

a3 1 (a 1)(a2 a 1);

z4 t4 (z2 )2 (t2 )2 z2 t2 z2 t2 (z t)(z t) z2 t2 ;

2a 3 2 a 1 2 (2a 3) (a 1) (2a 3) (a 1)

(2a 3 a 1)(2a 3 a 1) (3a 2)(a 4).

4.Выделение полного квадрата;

a4 x2 1 x4 x2 x2 1 x2 (x2 ) 2 x2 1 12 x2

x2 1

x2 1 x

x2 x 1

x 1

(чтобы получить удвоенное произведение «прибавили» и «отняли» x2 , а затем воспользовались формулой сокращенного умножения для разности квадратов).

2.1.Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Разложить квадратный трехчлен на множители – это значит представить его в виде:

ax2 bx c a(x x1)(x x2 ),

где x ,	x	–	корни уравнения		ax2 bx c 0 , которые определяются		по
1	2
формулам
					b
			x		b	D ,
				1,2	2a
					2a
где	D b2		4ac − дискриминант.
Если D 0 , уравнение ax2				bx c 0		имеет 2 (два) различных корня x		и
						1
x2 .
Если D 0 , уравнение ax2				bx c 0 имеет 2 (два) равных между собой
корня. Тогда разложение на множители принимает вид:

ax2 bx c a(x x1)2.

Если D 0 , то уравнение не имеет действительных корней. В этом случае оно имеет комплексно–сопряженные корни, и разложить на линейные множители с действительными числами квадратный трехчлен нельзя.

Рассмотрим примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1.	x2 8x 15
Решим	квадратное уравнение x2 8x 15 0 , для этого вычислим

дискриминант:

D b2 4ac 82 4 1 15 64 60 4 0.

Получим x2 8x 15 (x 3)(x 5).

2. 6x2 5x 6

Вычислим корни квадратного уравнения:

D 25 4 6 ( 6) 25 144 169 132

			3
	b D	8 2	3
x1,2				.
	2a	2	5

		18		3
	5 13
		12		2
x1,2		12		2		.
x1,2	12		8		4	.
	12		8		4
		12			3

	2			3		4
6x		5x 6 6	x		x		.
6x		5x 6 6	x	2	x	3	.
				2		3

3. x2 2x 1. Решим уравнение x2 2x 1 0 : D 4 4 0.

Отметим, что при D 0 будет полный квадрат и проще сразу получить ответ по соответствующей формуле сокращенного умножения.

(x 1)2 0, x1 x2 1. x2 2x 1 (x 1)(x 1) (x 1)2.

2.2.Разложение многочленов старших степеней на множители

Для приведенных многочленов с целыми коэффициентами

P (x)	xn	a	xn 1 ...	a x	a	(n	2,	n	N ),
n		n 1		1	0
ищут целый корень	x0	среди целых делителей свободного члена a0 , и если
такой корень есть, то делят уголком многочлен						Pn (x)		на (x	x0 ), при этом
остаток будет равен нулю.
Например, разложим многочлен				x3	3x2	4x	4 на множители.

Подбираем целый корень среди целых делителей свободного члена -4:

1, 2, 4.

Отметим, что в данном примере отрицательных корней нет, т.к. при x < 0 все четыре слагаемых будут отрицательными, поэтому осталось проверить


			x	1,	x 2, x 4.
Подставим		x 1 в многочлен x3				3x2 4x 4 : 1 3 4 4 2 0,
следовательно,	корнем многочлена x 1					не является.
Подставим		x 2 :	23 3 22		4 2 4 8 12 8 4 0,
следовательно,	по определению,			x 2		есть корнь многочлена.

Разделим уголком многочлен на x – 2:

_ x3 3x2 4x 4

x 2

x2 x 2

x3 2x2

_ x2 4x

x2 2x

_ 2x 4

2x 4

Так

как

второго

множителя,

квадратного

трехчлена

x2 x 2 дискриминант

D 1 8 7

0, то его на множители разложить

нельзя. Следовательно,

3x2

4 (x

2)(x2

x 2).

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

56. Разложить квадратный трехчлен на множители:


1) x2 5x 6;		6)	x2 4x 3;
2)	10x2 17x 3;	7)	7x2 8x 1;
3)	x2 5x 4;	8)		1	x2		3	x 3;

			6			2
4)	0,3x2 2, 4x 6;	9)	4x2 4x 1;
5)	5x2 23x 10;	10)	3x2 5x 2.

57. Разложить на множители путем вынесения общего множителя за скобки:

1)	8m2n3 10mn2 ;	6)	ym 1 y;	11) 15x2n 3 25xn 1;
2) 18ab3 9b4 ;		7)	5xm 2 10x2 ;	12)	4ax 8ay 12a;
3)	3x3 y3 15x2 y2 ;	8)	a3n a2n ;	13)	2ax3 4ax2 ;
4)	am am 1;	9)	amb2n ambn ;	14) 20xy 25zx 35cx;
5)	xm n xm ;	10) 4xn 2 20xn ;		15)	x5 2x4 3x3 4x2 .

Источник: https://studfile.net/preview/16563687/

Смотрите также:

_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология
[ТЕСТЫ] ЦНС - ЛУЧШИЕ 2020
+ Проблемы криминологии. Курс лекций