Материал: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

48.20 (1202). По однородному стержню массы М и длины 2а, концы которого скользят по гладкой, расположенной в горизонтальной плоскости окружности радиуса R, движется с постоянной отно* сительной скоростью v материальная точка массы т. Определить движение стержня. В начальный момент материальная точка находится в центре тяжести стержня.

Ответ: Ф— Фо = С arctg —	vt	, где §0 и С —
Ответ: Ф— Фо = С arctg —		, где §0 и С —
	произвольные постоянные.
	48.21	(1203). Концы однородного
	тяжелого	стержня АВ длиной 2а

К задаче 48.20.

К задаче 48.21.

и массы М скользят без трения по

горизонтальному

и вертикаль-

ному

стержням

рамки,

вращающейся

с постоянной угловой

скоро-

стью

вокруг

вертикальной

стороны.

Составить

уравнение

движения стержня

и определить положение

относительного

равновесия.

- 4

Ответ: -^Ма2гг—^--/Wco2a2

sin •& • cos # — Mga sin -г> = 0, где •& —

угол, образуемый стержнем с вертикалью.

В положении

равновесия $ = 0

(неустой-

чивое

равновесие).

48.22 (1204). К окружности однород-

ного

диска

радиуса

R шарнирно присое-

динен рычаг, несущий на своих концах

сосредоточенные

массы

т{

т%. Рас-

стояния масс от шарнира соответственно

равны 1г и /2. Диск вращается около вер-

тикальной оси, перпендикулярной к его

плоскости,

с угловой

скоростью и. Со-

ставить

уравнение движения

рычага

ич

к задаче 48.22.

определить

его

относительное положение

равновесия. Массой рычага пренебречь. Ось

вращения рычага

парал-

лельна

оси

вращения диска.

Ответ: {тх1\ + тгЩ •§ — Ru? (т^

— m2/2) cos {Ир — wt) — 0.

При

m-J-i = mj-г

рычаг

безразличном относительном

равно-

весии.

При Ш\1\ =£ mj%

существуют

два

положения

относительного

371

равновесия, при которых ty = . atf ± - s - , т. е. рычаг направлен по ра-

диусу.

• 48.23 (1205). Решить предыдущую задачу в предположении, что диск вращается в вертикальной плоскости (учесть действие силы тяжести).

Ответ: (т^ -j- /wa/|) $ — Rv>s(mxh — W2) cos (ф — шг) 4-

4- (т^ — w2/s) g sin (J) = 0. При m\l\ Ф m4i относительное равновесие невозможно.

48.24 (1206). Тонкий диск массы М может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы т. Уравнения относительного движения точки в декартовых


координатах		х	и у,	связанных		с диском	и имеющих начало		в его
центре	тяжести,		заданы		в виде x = x(t),		y=y(t).	Момент инерции
диска	относительно			его	центра	тяжести	равен J.	Определить	закон
изменения угловой				скорости диска. В начальном				положении	диск
неподвижен.

Отеет: [,+ ^ ( * + ^ + _ ^ (*,-_

тМ

где Хо, у», х$, _Po — значения координат и проекций скорости точки

вначальный момент времени.

48.25(1207). По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль окружности радиуса R движется материальная точка с относительной

скоростью v =	at.	Найти закон движения		диска.
,,		mM	Ra	,8	p a
Ответ: Т=	-		H	**	**

mR	cosg + P ^^ rr

sinsin

где <f — угол поворота диска, а £ и "ц — координаты центра тяжести
диска в неподвижной декартовой системе, имеющей
начало в центре инерции системы.
48.26 (1208). Материальная точка М движется под
действием силы тяжести по	прямой АВ,	вращающейся
с постоянной угловой скоростью to вокруг		неподвижной
вертикальной оси. Прямая	АВ образует	угол о с го-
ризонталью. Найти закон движения точки.
Ответ: Расстояние движущейся точки от точки
пересечения прямой с вертикальной осью

		4-4г^,
		<о2 COS2 a	'
К задаче 48.26.	„	г,
где	С\	и С* — постоянные интегрирования.
48.27 (1209). Материальная точка массы т движется по окруж-
ности радиуса а,	которая вращается с постоянной угловой		скоро-

372

стью (о вокруг вертикального диаметра АВ. Составить уравнение движения точки и определить момент М, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.

Ответ: Ь-\- (£• — u>*cosd) sin &= 0;

М= 2mai

48.28(1210). Материальная точка массы т движется внутри гладкой трубы, представляющей собой окружность радиуса а; труба свободно вращается около вертикального диаметра. Момент инерции трубы относительно вертикального диаметра равен J. Составить уравнения движения системы, считая, что труба

вращается под действием постоянного момен-		К задаче 48.27.
та М, (См. чертеж к задаче 48.27.)		К задаче 48.27.
та М, (См. чертеж к задаче 48.27.)
Ответ: та*Ь — та1	sin Ь cos & • <j>2-f- mga sin & =		0,
Jy -f- ma* sin3	& • cp-\- 2mc? sin & cos Ь• &<p=		M

(&— угол, определяющий положение точки в трубе, ср— азимут трубы).

	48.29 (1211). Однородная балка весом							Р	и длиной		21 подвешена
ва концы на канате длиной 2а, перекинутом
через неподвижный блок С. Пренебрегая								мас-
сой каната и считая блок весьма малым, со-
ставить		выражения для кинетической					и потен-
циальной энергий системы.
	У к а з а н и е .			Траекторией точки С			по отноше-
нию к отрезку FtFs является					эллипс с большой			осью
2а	и с фокусами			в точках Ft	и F2', за одну из обоб-					К	задаче 48.29
щенных координат принять эксцентрическую ано-
малию		эллипса,		т. е. угол	<?, определяемый			с	помощью		соотношений
				АВ — a cos#		ВС = У а* — /3 sin f,
за	вторую		принять угол а между			вертикальной			осью у и перпендикуляром
ВС	к стержню.
	Ответ: Кинетическая энергия системы:
_	Р	\11г	,	* s l n		<Р а			asb'4-ll		sin!cpcossij .
	2^L\3		'						a3	cos2 <р + Ьг sin8 ? 'J•
	Потенциальная энергия системы;
		П = — Р ф sin cp cos a — a cos cp sin a);							b =	У a4 — /*.
	48.30 (1213). Однородный тонкий стержень АВ									весом Р и длиной
2/ скользит концом А по вертикальной								прямой, а концом В по
горизонтальной				плоскости. Составить			уравнения			движения стержня
и найти их			первые интегралы (см. чертеж на стр. 374).
	Ответ:		Уравнения движения:
	«р — ¥		sin соcos f = -^ j - sin cp; &sin* cp-4r 2&<p sin cp cos cp==0

373

(? — Уг о л		наклона	стержня к вертикали; 9- — угол проекции стержня
на горизонтальную плоскость с осью				Ох).
			Первые интегралы:
			(Ci и Са — произвольные постоянные).
О4	•J"		48.31 (1214). Составить уравнения движения
О4	•J"		математического	маятника массы т, подвешен-
			ного на упругой	нити; длина нити в положении
			равновесия /, ее	жесткость	равна с.
	! \ ЗЗДЙЧР		Ответ: Если	Ф — угол	отклонения маятни-
	! \ ЗЗДЙЧР		ка от вертикали,	z — относительное удлинение
			ка от вертикали,	z — относительное удлинение
нити, то		уравнения	движения будут

£-z+ f (l-coso) = 0.

48.32 (1216). Найти в предыдущей задаче движение маятника для случая малых колебаний.

- Ответ: z = Asin^y ~ t-\-oj , <?==Bsm\yj-t-{- pj, где А,

а, В, р — произвольные постоянные.

48.33. Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг
однородного круглого цилиндра радиусом	R, второй конец прикреплен
к неподвижной точке О.	Цилиндр, разматывая нить,

опускается вниз, одновременно		раскачиваясь	вокруг
горизонтальной оси,	проходящей	через точку	подвеса
нити. Пренебрегая	весом нити, составить дифферен-
циальные уравнения	движения цилиндра.
Ответ:
р — Ri	— -3 р ? 9 = - 3 g cos<p;

( S < P ) — Я Р Ф 8 = — ^ Р sinср.

48.34.Пользуясь результатами, полученными при ре-

кзадаче 48.зз. шении предыдущей задачи, составить дифференциальное

уравнение малых колебаний цилиндра, если движение


началось из состояния покоя		и при £ =			0	р = ро,	Ф ^ Ф О ^ О .
Ответ: ^ [Я (t) Ф] + gF (t) Ф=			0,	где		F (t) =	^ + Р о —	R^
48.35 (1216).	Определить	движение			системы,		состоящей	из двух
масс OTi и ть	насаженных	на	гладкий			горизонтальный		стержень
(ось Ох); массы	связаны пружиной			жесткостью с			и могут двигаться

поступательно вдоль стержня; расстояние между центрами тяжести масс при ненапряженной пружине равно /; начальное состояние

374

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280970

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ