Материал: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

49.5. Уравновешенный гироскоп движется по инерции в кардано- вом подвесе. Определить кинетическую энергию системы и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси вращения £

мы относительно оси

+Гг -f (Jx+ JX — J'z) cos8 0] $ + Jznsin б = пй

4)интеграл энергии:

Л-f (/i+ Л — Л) cos8 9] фг

49.6.Игнорируя циклическую координату <j», составить функцию Рауса и дифференциальное уравнение в координате 9 для сфериче-

тенциальная энергия которого равна П(г). Определяя положение точки полярными координатами г и tp и игнорируя циклическую координату ср, составить функцию Рауса и дифференциальное уравнение движения в координате г.

384

Ответ: 1) R = ~ Ц + /, + (Л -f- Л — J',) cos9 6] ф*-f

{Jy -г J'y)9 + 2 (Л + Л — J'z) cos 9 sin вф^ — ]гп cos 9ф= My;

3)Jzn cos №,

49.9.Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения для математического маятника массы т и длиной /, положение которого определяется углом ср отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному диф-

ференциальному уравнению движения математического маятника.

1 о2

Ответ: 1) ^ = ~ T " ^ I ' — mgl cos у;

2)&==- р = — mgl sin f.

49.10.Материальная точка массы т подвешена с помощью невесомого стержня длиной / к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью ш (см. чертеж к задаче 49.4). Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения.

я, Р.

ит. п. означают обобщенные импульсы.)

49.12.Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона

дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около верхнего вертикального положения.

49.15. Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх).

386

2)у =

49.19.Концы струны закреплены в неподвижных точках А и В, расстояние между которыми равно /. Считая, что натяжение Т струны одинаково во всех точках, определить интеграл действия по Гамильтону для малых колебаний струны.

49.20. Пользуясь принципом Гамильтона—Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение колебаний струны.

Г Л А В А XII

ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА

§ 50. Кеплерово движение (движение под действием центральной силы)

50.1.Модуль силы всемирного тяготения, действующий на мате-

*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что сила притяжения небесного тела направлена к его центру; ускорения сил тяжести g даются без учета вращения небесных тел.