Документ: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975), страницы 421-425

2) Начальная скорость должна быть направлена вне конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.

50.26. Найти зависимость между периодами Г; обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями at их эллиптических траекторий.

Ответ: '&•= % для любых планет (третий закон Кеплера).

50.27. Период обращения одного из спутников							Юпитера, называе-
мого	Ио, равен		1,77 суток,	причем	радиус	его	орбиты составляет
5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние						Юпитер — Солнце равно
5,20	среднего расстояния Земля — Солнце (5,20-23 000 земных радиу-
сов),	а	период	обращения	Юпитера	вокруг	Солнца равен		11 лет
314,84		суток.
Определить			отношение	массы Юпитера к массе Солнца				(радиус
Юпитера равен 11,14 радиуса Земли).
Ответ: Масса Юпитера				в 1 000 раз меньше массы Солнца.

50.28. Под средним значением [г] радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина, определяемая равенством

				г
где	Т — период	обращения.
	Определить	среднее	значение		радиус-вектора				планеты,		если
а — большая полуось, а			е—эксцентриситет				ее	эллиптической-			трае-
ктории.
	Ответ: [г]= а (1 -f- у е
'	50.29. Два спутника,		имеющие	равные			массы, движутся			в одном
направлении вокруг притягивающего					центра		по	компланарным			орби-
			там, одна		из которых — круговая					радиуса
			гв, а другая—эллиптическая с расстоя-
			ниями перигея и апогея г0 и 8г0 соответ-
			ственно.
			Полагая,			что спутники путем					непо-
			средственной			стыковки			соединились		друг
			с другом в точке соприкосновения их
			орбит и дальнейшее					движение продолжали
			вместе,	найти		апогей		их	новой орбиты.
							49
	к задаче 50.30,'^		Ответ: ra =				2o'V

50.30. Определить связь между истинной ср и эксцентрической Е аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентриситета е.

Ответ: t g T = 1/ v-j- tg -f-.

394

50.31. Выразить скорость в любой точке эллиптической орбиты через эксцентрическую аномалию.

г.т Г V- 1 /~l+ecosE

Ответ: v=y i | /

у^т^Г

50.32. Найти на эллиптической орбите такие точки, скорость движения в которых равна среднему геометрическому скоростей в перигее и апогее.

Ответ: Е=±-?г (точки расположены на концах малой оси

эллипса).

50.33. Зная выражения для радиус-вектора точки, совершающей эллиптическое движение вокруг притягивающего центра:

~ г

_

Р

с

1 + е cos ф

п

r=a{\

—ecosE)en

где ег—орт

радиус-вектора

г,

проведенного

из центра

притяжения,

ср— истинная, а Е—эксцентрическая аномалии, найти

выражения

для

вектора орбитальной

скорости

этой

точки,

записанные в орбиталь-

ной и инерциальной системах координат.

Ответ:

<о = 1/

— [е^

sin <р + е9

(1 -j-e cos if)];

— l A i Г _

V^b^sin g

,

(1— e2)cos£i

V

у

p L

6l

1—ecosfi

~Tez

\—ecosE

у

где ву — орт,

направленный

из полюса

в перигей, а е%—орт

перпен-

дикулярного к ех направления.

50.34. В какой точке эллиптической орбиты угол наклона траек-

тории к местному горизонту (плоскость, перпендикулярная к

радиус-

вектору) достигает наибольшего

значения?

Ответ:

Е==±-^.

50.35.

Спутник

движется

по

круговой

орбите

радиуса

г, де-

лая один оборот за время

Т. В результате получения радиаль-

ного импульса скорости величиной и он

переходит

на

эллип«

тическую орбиту. Определить

период

обращения

по

эллиптической

орбите.

Ответ: ^i=-p

iuT\*\4 '

50.36. Спутник движется

по

круговой орбите

радиуса

г,

делая

один оборот

за время Т.

В

результате получения

тангенциального

(касательного) импульса скорости величиной и он переходит на

эллиптическую	орбиту. Определить период обращения по эллипти-
ческой орбите	Tv	Т
Ответ: Тх = -		Т
Ответ: Тх = -

395

Б0.37. Спутник	движется по круговой околоземной орбите ради-
уса г. Определить	величину радиального "импульса скорости, в резуль-

тате которого спутник перейдет наэллиптическую орбиту сперигеем гх.

50.38. Космический корабль движется со скоростью г> = 30 км/сек


по орбите Земли, имеющей радиус						r x = 150-106		км. Какой касатель-
ный импульс		скорости		и он должен		получить, чтобы в афелии своей
новой орбиты		он достиг орбиты			Марса (г2 = 228-106 км)?
Решить	такую же			задачу для случая			полета		к орбите		Венеры
( r s = 108- 10е км).				Марса: н= 2,95 км/сек;
Ответ: На орбиту
	на орбиту* Венеры: и= 2,55						км/сек.
50.39. Спутник			движется по эллиптической					околоземной			орбите
с радиусом	перигея		и апогея		соответственно			гх	и г2	. Определить
величину касательного				прироста	скорости и в перигее,					при котором
высота апогея		увеличится на Н.

И2\

50.40. Космический корабль, движущийся по круговой спутниковой орбите, должен стартовать с нее путем получения касательного импульса скорости и выйти на гиперболическую орбиту с заданным значением скорости на бесконечности Vx,-При каком радиусе г0 начальной круговой орбиты величина необходимого импульса и будет наименьшей?

Ответ: /•„ = -£-.

§51. Разные задачи

51.1.Две свободные точки, массы которых равны тх и тг, движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить закон движения первой точки относительно второй.

Ответ: Относительное движение происходит по тем же законам, что и абсолютное с гравитационным параметром

51.2. Какой вид примет зависимость между периодами Tt обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями at их эллиптических орбит, если учесть движение Солнца, вызванное притяжением соответствующей планеты?

Ответ: %: % = .. ,щ , где тъ тг, М —массы планет и Солнца соответственно (сравнить с ответом к задаче 50.26).

396

51.3.

Два

однородных

шара

радиусов

Rt

и R2

начали

двигаться

из состояния покоя под действием сил взаимного притяжения. Опре-

делить,

с какой

относительной скоростью

vr

столкнутся шары, если

первоначальное расстояние между их центрами равнялось L, а массы

шаров равны тх ит%.

Ответ: fr

= | /

2ц(/? 1 + / ? а — х*)'

г д е VL==

51.4. Две точки, массы которых равны ws

и т2, начали двигаться

из состояния покоя под действием сил взаимного притяжения. Опре-

делить

время

Т,

через

которое столкнутся точки, если первоначаль-

ное

расстояние между ними равнялось L.

Ответ: Т = ~ j

/ ^ ,

где

ц =/(/«i + Щ)-

61.5.

Две

свободные точки, массы

которых

равны m-i и /и2, дви-

жутся под

действием

сил взаимного притяжения. Определить закон

движения точек относительно их центра масс С.

Ответ:

Движение

по отношению к центру масс происходит по

тем

же

законам, что

и

абсолютное

движение

с

гравитационными

параметрами N = / ( - ^

| -

?

„

^

61.6.

Проекция

центральной

силы

на

радиус-вектор

равна

— (~4-7з)>

г д е

^ > 0

и

V—некоторые постоянные. Определить

траекторию

движущейся

точки.

Ответ:

1)

v < c *

г = т-.

%-.

г,

где

с — г2ф = const, p =

=

~

, k2=l—-pf

e

и е-произвольные постоянные;

2)

v = c2,

у

^

+ С^ + Съ

d

и

С8 —постоянные

интегрирования;

3)

v >

сг,

г = т*-,—Лг~,

г,

где р = — v~~

,

А* =

'

-^

'

1-f

ecn

k

(ф — е)'

г

ц

'

=

V

и е — произвольные постоянные.

-г — 1, е

с

51.7. Космический аппарат массы т приближается к планете по прямой, проходящей через ее центр. На какой высоте Н от поверхности планеты нужно включить двигатель, чтобы создаваемая им постоянная тормозящая сила, равная тТ, обеспечила мягкую посадку (посадку с нулевой скоростью)? Скорость космического аппарата в момент включения двигателя равна vOf гравитационный параметр планеты ц, ее радиус R; притяжением других небесных тел, сопротивлением атмосферы и изменением массы двигателя пренебречь.

Ответ: Н=± {%+TR + f				± / ( { - +77? +Hf)ш -^т} - R,
знак	плюс, если T^>ii/Ra,		и знак	минус, если	/
51.8. Определить полезную работу, которую					должен совершить
двигатель ракеты,		чтобы	поднять	космический аппарат на высоту Н
над	поверхностью	планеты и		сообщить ему	на этой высоте

397

круговую и параболическую космические скорости. Вескосмического аппарата на поверхности планеты равен G,радиус планеты R; сопротивлением атмосферы пренебречь.

Вычислить эту работу для второй космической скорости для Земли, если вес аппарата равен 5 т.

Ответ: Al = O

Л= 31850 т к.и = 31,85-109 кГм.

51.9.Космический аппарат вращается с угловой скоростью 20 . Определить, какую полную работу должен совершить двигатель ма-

ховика М, чтобы остановить вращение космического аппарата,

К задаче 51.9.

считая, что вращение последнего происходит вокруг поступательно перемещающейся оси,проходящей через его центр масс. Ось вращения маховика совпадает с осью вращения аппарата; J и Jo — моменты инерции маховика и аппарата (вместе с маховиком) относительно общей оси вращения.

Ответ: A = ^Jo(J°~J)Q\.

51.10. Считая, что статор электромотора системы, описанной в задаче 51.9, создает вращающий момент Мвр = Мо — ш, где 7И0 и у.—некоторые положительные постоянные, найти условие, необходимое для того, чтобы торможение вращения космического аппарата произошло за конечное время. Предполагая, что это условие выполнено, определить время Т торможения.

1	М
Ответ: Ж, > а(Л - J) 2» Т = - Inщ	_ д (у* _ J} ^ , где
пЬту

51.11. Определить угол <J),на который повернется космический аппарат за время торможения вращения, если оно осуществляется способами, описанными в задачах 51.9 и 51.10.

Ответ: ф= —2- —
a	a*(J0—J) "'M0 — a(J0 — J)Q0-

51.12. Для поворота корпуса космического аппарата используется электродвигатель-маховик, уравнение движения которого на вращающемся аппарате имеет вид се-J- ш/Г — и, где ш — относительная угловая

393

Материал: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

Смотрите также: