Материал: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

50.3. Материальная точка равномерно движется по круговой орбите на высоте И над поверхностью небесного тела радиуса R под действием силы всемирного тяготения. Определить скорость дви-

50.5. На какой высоте нужно запустить круговой спутник Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того, чтобы он все время

находился над одним и тем же пунктом Земли? "

Ответ: # = 3 5 800 км.

50.6. Под каким углом Р пересекается с земным экватором трасса спутника (проекция его траектории на земную поверхность), если он

Ответ: г»2 -2-^ = /г.

50.8. Определить, при какой высоте Н круговой орбиты спут-

*) Во всех задачах этой главы сопротивлением атмосферы пренебрегаем.

390

50.10. Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он удалился в бесконечность?

50.12. Точка движется под действием центральной силы. Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени t сложным образом через полярный угол ф, определить скорость и ускорение точки *).

Ответ: « W [и« +(-J--)1]; «, =0, « v = ± c W ( g + a)f

где и = — , с = г2ф = | г X v | = const — удвоенная секторная скорость; знак плюс для силы отталкивания, знак минус —для силы

притяжения.

50.13 (751). Точка массы т движется под действием центральной силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных координатах имеет вид

Р

г = 1+е cosq)'

где р и е — параметр и эксцентриситет траектории.

чОпределить силу, под действием которой движется точка.

*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что полюс полярной системы координат совпадает с центром притяжения (отталкивания).

391

50.15. Материальная точка движется поддействием силы всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриситет которой е < 1 . а параметр р. Зная интеграл площадей с= гг $ — 1 г х я | , определить полуоси а и b эллиптической траектории и период обращения Т.

50.16.В условиях предыдущей задачи определить ускорение точки

вмоменты, когда она проходит апогей и перигей.

Ответ: w3 = -3 О —е)2> wn — ~з О "Ь €Т-

50.17. Зная период обращения Т спутника вокруг Земли поэллиптической орбите и разность его апогея и перигея Н, определить эксцентриситет орбиты.

Omeeffi: е — Н 1/Я-^Г.

50.18. Спутник движется около планеты радиуса R поэллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти большую полуось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно 7 < 1 .

*) За положительное направление фокальной оси конического сечения принимается напрнвление от полюса, совпадающего с одним из фокусов сечеиля, к ближайшей вершине.

392

50.21. Определить, какую скорость надо сообщить космическому

=7002 км; ft = —56,6 км21сек2.

50.23.В условиях предыдущей задачи определить направление большой оси эллиптической траектории спутника, эксцентриситет е траек-

4)Г = 98,5 мин.

50.24.При каком направлении начальной скорости космический

аппарат упадет на поверхность планеты радиуса R вне зависимости от величины начальной скорости г>0?

Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.

50.25. При каких начальных условиях траектория космического аппарата, запущенного на высоте Я от поверхности планеты радиуса R,

для данной плане!ы на высоте Я.

393