Материал: Моделирование, анализ и оценка надежности информационных систем и технологий. Некравцева Т.А., Толстых Т.О

50

моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды, и реализации этого алгоритма с использованием программ- но-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования: 1) для изучения стохастических систем; 2) для решения детерминированных задач. Для решения детерминированной задач производится ее замена эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики которой совпадают с результатами решения детерминированной задачи. При такой замене вместо точного получается приближенное решение, погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний.

В результате статистического моделирования системы получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций достаточно велико, о полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы.

Теоретической основой метода статистического моделирования систем являются предельные теоремы теории вероятностей.

Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования случайных величин, что реализуется с помощью генераторов случайных чисел. На практике используются три основных способа генерации случайных чисел: аппаратный, табличный и алгоритмический.

При аппаратном способе генерации случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой. В качестве физического эффекта, заложенного в основу таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах или явления распада радиоактивных элементов.

При табличном способе случайные числа заранее определены и оформлены в виде таблицы.

При алгоритмическом способе получение последовательностей случайных чисел производится с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ.

Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генерации последовательностей псевдослучайных чисел находят алгоритмы вида

51

xi 1 Ф( xi) ,

представляющие собой рекуррентные соотношения первого порядка, для которых начальное число x0 и постоянные параметры заданы.

Одна из исторически первых процедур - метод серединных квадратов. Первоначально задается 2n разрядное число, меньшее 1. Число возводится в квадрат, а затем отбираются средние 2n разрядов, которые и являются очередным числом псевдослучайной последовательности. (x0=0,2152, x02=0/04631104, x1=0,6311, x12=0,39828721, x2=0,8287). Недостатком метода является наличие корреляции между числами последовательности.

Широкое применение получили конгруэнтные методы генерации псевдослучайных последовательностей, представляющие собой арифметические операции, в основе которых лежит фундаментальное понятие конгруэнтности. Два целых числа a и b конгруэнтны (сравнимы) по модулю m, где m - целое число, тогда и только тогда, когда существует такое целое число k, что a-b=km, т.е. разность a-b далится на m и если числа a и b дают одинаковые остатки от деления на абсолютную величину числа m. Например,

1984 4(mod 10), 5008 8(mod 103) и т.д.

Конгруэнтные процедуры являются чисто детерминированными, так как описываются в виде рекуррентного соотношения

Если задано начальное значение X0, множитель и аддитивная константа , то представленное выражение однозначно определяет последова-

{Xi}можно построить последовательность {xi}={Xi/N} рациональных чисел из единичного интервала (0,1).

Конгруэнтная процедура получения последовательности псевдослучайных чисел может быть реализована мультипликативным либо смешанным методом.

Мультипликативный метод задает последовательность неотрицательных целых чисел {Xi}, не превосходящих M по формуле

52

X i 1 X i (mod M )

т.е. это частный случай соотношения (7) при =0.

Для машинной реализации наиболее удобна версия M=28=256, тогда вычисление остатка от деления на M сводится к выделению 8 младших разрядов делимого, а преобразование целого числа Xi в рациональную дробь из

т.е. в отличие от мультипликативного метода 0. С вычислительной точки зрения смешанный метод генерации сложнее на одну операцию сложения, но при этом возможность выбора дополнительного параметра позволяет уменьшить возможную корреляцию получаемых чисел.

Моделирование случайной величины с заданным законом распределения

Большинство случайных величин можно смоделировать при помощи равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины.

Теорема 1.

Пусть СВ равномерно распределена на отрезке [0,1], G(x) - заданная функция распределения. Тогда СВ =G-1( ) имеет совпадающую с G(x) функцию распределения F (x)=G(x) (рис. 3.1).

y=G(x)

y=G(x)

Рис. 3.1. Графическое представление теоремы 1.

Если функция G «проскакивает» значение , то полагаем =G-1( ) равным точке разрыва.

53

Моделирование равномерно распределенных на отрезке [a,b] случайных чисел

Статистические характеристики случайной величины , равномерно распределенной на интервале [a,b]:

плотность распределения имеет вид:

Вероятность попадания значений СВ в любую область длины из отрезка [a,b] равна /(b-a) и, следовательно, не зависит от размещения этой области в пределах отрезка [a,b].

Функция распределения СВ

Графическое решение задачи, согласно теореме 1 показано на рисун-

ке3.2.

у

1

Рис. 3.2. Функция распределения для равномерно распределенной СВ.