Материал: Моделирование, анализ и оценка надежности информационных систем и технологий. Некравцева Т.А., Толстых Т.О

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

							55
	1		( x m)2
f (x)	1	e	2	2	.

	2
	2
Известно, что М[				]=m, D[		]=	2.
						x
Поскольку интеграл F (x)						f	(t)dt

в данном случае не выражается через элементарные функции, теорема 1 не позволяет получить экономный метод моделирования нормально распределенных чисел.

Пусть

0= 1+ 2+…+ 12 – 6, где СВ

i – независимы и равномерно рас-

пределены

на отрезке

[0,1].

учетом

того,

что

для

всех i

D i

, получим M 0

6 0, D

0 12

По центральной предельной теореме теории вероятностей СВ

рас-

пределена по близкому к нормальному

закону. То же верно

для

СВ

0+m, причем М[ ]=m, D[

Проверка качества случайных чисел по критерию

Для проверки соответствия опытных данных заданному закону распределения можно оценить близость частот, с которыми данные попадают в некоторые интервалы, к вероятностям попадания в эти интервалы значений случайной величины, вычисленным в соответствии с заданным законом распределения.

Численной мерой близости теоретической (f) и статистической (f*) плотности распределения служит величина

2	I	ni	N pi		2	,
набл	i 1		N p			,
набл
				i
				i
где N - количество наблюдений;
I	- число интервалов разбиения;

ni - количество наблюдений, попавших в i-й интервал;

pi - вероятность попадания СВ в i-й интервал в соответствии с заданным законом распределения.

Если гипотеза о заданном законе распределения справедлива, то число

2	является одним из значений случайной величины, распределенной по

набл

закону, близкому к распределению 2 с k=I-s степенями свободы (s - число оцениваемых по опытным данным параметров закона распределения). Для

заданного уровня значимости		по статистическим таблицам выбирается
критическое значение	2 , из	условия	P	2	2	, т.е. событие
	кр			набл	кр

2 2 маловероятно в случае справедливости гипотезы о законе распре-

набл кр

деления. При

предположению.

2 2 считаем, что данные не противоречат сделанному

набл кр

Точность статистических оценок

Теорема 2. Пусть x1, x2, ..., xn - результаты n независимых измерений СВ , т.е. значения независимых СВ 1, ..., n, распределенных по тому же зако-

ну, что СВ . Тогда

1 n

является значением несмещенной статистической оцен-

n i 1

1 n

ки математического ожидания СВ

xi , т.е.

M m

m .

n i 1

m* 2

- значение несмещенной оценки для D .

1 i 1

Несмещенность статистической оценки означает, что в среднем оценка

равна оцениваемому параметру.

Доверительным интервалом

с доверительной вероятностью

на-

зывается такой интервал со случайны-

ми

границами [

*- ;

*+ ],

где

* -

статистическая оценка параметра, что

[

*- ;

*+ ]}

, т.е. интервал на-

крывает истинное значение оценивае-

мого параметра с вероятностью не

меньше .

Функцией

Лапласа

называется

нечетная функция, при неотрицатель-

ных t определяемая как

(t)

t ,

-t

где СВ

распределена по нормальному

закону с параметрами m=0 и

=1.

Геометрическая интерпретация: Ф(t) - площадь криволинейной трапе-

ции.

Теорема 3. (О радиусе доверительного интервала).

При большом числе наблюдений (n 100) 1) В случае =m

t			,

	n
	n
(3.2)
2) В случае				=D

t		2		D .

	n	1
	n	1
(3.3)
Где через t				обозначено решение уравнения Ф(t)= . Например, t0,8 =

1,28; t0,85 = 1,44; t0,9 = 1,65; t0,95 = 1,96.

Поскольку, как правило, и Dнеизвестны, то вместо них в формулах (1.8), (1.9) используются их оценки * и D* , что не гарантирует доверие, но

правдоподобно.

Следствие 1 из теоремы 3. Расчет количества наблюдений, обеспечивающих заданную точность и заданную надежность:

n = (t / )2.

Следствие 2. Для улучшения точности в k раз необходимо увеличить количество наблюдений в k2 раз.

Аппроксимация результатов моделирования

Во многих системах имеет место функциональная связь между двумя или более переменными, и желательно эту связь выявить. Для определения этой связи используется регрессионный анализ, который дает возможность построения уравнения исходя из выборки.

Математическая модель представляется в виде полинома, в который разлагается анализируемая статистическая характеристика системы y = f(x1, x2, ..., xk) по входным параметрам xi (j=1,k):

y b0

bj x j

blj xl x j

bjj x2j

j 1

l , j

j 1

где bj

blj

2 f

bjj

2 f

x j

x 0

x j

x 0

x j

Предположим, что проведена серия из N независимых наблюдений, давших N систем значений yi, x1i, x2i, ..., xki (i=1,N) и по этим данным требу-

ется оценить неизвестные коэффициенты b0, bj, blj, т.е. найти их оценки ˆ ,
								b0
ˆ	ˆ . Уравнение регрессии, полученной на основании эксперимента, запи-
b j	blj
шется в следующем виде:
	yˆ ˆ	k	ˆ	k	ˆ	k	ˆ	2
	yˆ ˆ		ˆ		ˆ		ˆ
			bj x j		blj xl x j
	b0	j	bj x j		blj xl x j	j 1	bjj x j
		j	1	l , j 1		j 1

Задача оценки параметров может быть решена применением методов максимального правдоподобия или наименьших квадратов, причем в последнем случае оценки коэффициентов находятся из условия

N yi yˆ i	2	min .
i 1

Необходимым условием минимума Ф является выполнение равенств

Ф		Ф
Ф	0,	Ф	0, ( j 0, k; l 1, k ) .

bj		blj
bj		blj

Разность между объемом выборки N и числом связей, наложенных на эту выборку p, называется числом степеней свободы выборки f

f=N-p.

При определении уравнения регрессии число связей p равно числу определяемых коэффициентов, а вид уравнения регрессии выбирается путем экспериментального подбора.

После того, как уравнение регрессии найдено, прежде чем принять какое либо решение по поводу модели, необходимо проверить гипотезу о том, что полученная модель удовлетворительно описывает экспериментальные данные. Для этого необходимо проверить значимость всех коэффициентов регрессии и адекватность модели.

При проверке значимости коэффициентов регрессии для каждого ко-

эффициента bj выдвигают гипотезу H0:(bj=0). Известно, что оценка ˆ									имеет
								b j
нормальное распределение со средним, равным истинной величине bj									и дис-
		2				bj
персией D bj		y	, а величина z			bj		имеет стан-
	N	2
	N	2			N		2
	x ji	x j		y		x ji x j	2
	i 1				i 1
					i 1

дартное гаусовское распределение. Величину z можно использовать для про-

верки гипотезы H0. Если		2y неизвестна,			то используя вместо нее оценку
S2y N yi yi	2 , получим
i 1
		t		bi

			S y	N	x ji x j	2
			S y	N	x ji x j	2
				i 1

Величина t распределена как стьюдентовская величина с N-2 степенями свободы. Поэтому, если для заданного уровня значимости получено t t ,

гипотеза H0 должна быть отвергнута, т.е. коэффициент bj значимо отличается от нуля.

В модели множественной регрессии незначимые коэффициенты исключаются из уравнения. Оставшиеся коэффициенты пересчитываются, поскольку в общем случае они коррелированны друг с другом.

Проверка адекватности полученной модели производится по критерию Фишера:

					F			S2– р	,
					F			S”2–	,
								S”2–
	2	N yi	y 2	2			N yˆ i		yi	2
где	2	i 1	,	2		i 1				.
где	Sср		,	Sост						.

		N	1					N	p

Критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшится рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно генерального среднего. Чем больше значение F превышает табличное F (f1,f2) для выбранного уровня значимости и чисел степеней свободы f1=(N-1) и f2=N-p, тем эффективнее уравнение регрессии.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Раскройте суть понятий «модель», «моделирование», «теория моделирования».

2.Что такое адекватность модели, каким образом производится ее

оценка?

3.Сформулируйте принципы системного подхода в моделировании систем, чем отличается индуктивный подход от системного?

4.Опишите основные характеристики моделей систем.

Источник: https://studfile.net/preview/16563751/

Смотрите также:

lektsia_6
rab_tet_MYShTsY_2019
Беспомощное состояние как юридически значимое свойство потерпевшего от преступления
Биоиндикация. Микробиологические методы исследования экосистем (90
Иерархичность и подобие как свойства фрактальной структуры поэтического текста
Лысаков 4А
микра итог 2 (13)
Мовленнєві помилки
Обеспечение устойчивого развития субъекта хозяйствования за счет внедрения информационно-логистических систем
Растворимость солей в неводных растворителях