Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А
Теорема. |
Если несобственный интеграл |
|
f x |
dx |
|
|
|
a |
|
|
|
сходится, то |
сходится и интеграл |
f x dx |
(без |
||
|
|
a |
|
|
|
доказательства).
Геометрически теорему можно пояснить так. Если интеграл сходится абсолютно, то площадь, ограниченная
кривой y |
f (x) |
при a x |
конечна. Значит, будет |
|
|
|
|
конечна и алгебраическая сумма площадей, ограниченных
кривой y |
f x . |
|
|
|
|
|
|
Если |
несобственный |
интеграл |
f x dx сходится, |
а |
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
несобственный интеграл |
от модуля |
функции |
|
f x |
|
dx |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
|
||
расходится, то говорят, что несобственный интеграл сходится
условно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
3.14. |
|
|
Исследовать |
|
|
|
|
|
сходимость |
|||||||||||
интеграла |
|
cos x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Рассмотрим интеграл: |
|
cos x |
|
|
dx |
. Сравним его |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со сходящимся интегралом |
|
dx |
. Очевидно, что |
|
cos x |
|
1 |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|||
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следовательно, |
|
|
|
|
сходится, |
а потому |
|
и исходный |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
интеграл сходится абсолютно.
81
Теорема. Если знакопеременная на отрезке a, b
функция f x
испытывает разрыв второго рода только в точке
|
b |
|
|
|||
b , и несобственный интеграл |
|
f x |
|
dx от |
модуля |
этой |
|
|
|||||
|
a |
|
|
|||
|
|
|
|
|
b |
|
функции сходится, то сходится также интеграл |
f x dx |
(без |
||||
a
доказательства).
Вопросы для самопроверки
1.Сформулируйте определение определенного интеграла.
2.Каков геометрический смысл определенного интеграла?
3.Что является достаточным условием интегрируемости функции?
4.Каков физический смысл определенного интеграла?
5.Перечислите свойства определенного интеграла.
6.Какие свойства определенного интеграла связаны с неравенствами?
7.Каков смысл теоремы о среднем для определенного интеграла?
8.О чем говорит теорема Барроу о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу?
9.Выведите формулу Ньютона – Лейбница.
10.Как производится замена переменной в определенном интеграле?
11.Что собой представляет несобственный интеграл первого рода?
12.Дайте определение несобственного интеграла второго
рода.
13.Каков геометрический смысл несобственных интегралов первого и второго рода?
Задачи для самастоятельного решения
82
Вычислить определенные интегралы
1 |
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
e1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
|
|
|
|
ln2 xdx (Ответ: e |
|
|
|
|
|
2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 x 1 ln |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
4. |
|
(Ответ: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
2 cos x |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
sin x cos2 xdx (Ответ: |
|
|
2 |
). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
sin3 xdx (Ответ: 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
|
|
|
|
arctgxdx (Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 ). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
x 2 e x dx (Ответ: |
|
|
|
). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 dx
11.1 x2 4x 5 (Ответ: 4 ).
83
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
3 |
|
). |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: ln 2 ). |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
2x |
|
9 |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
arctg 2 ). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
sin |
6 |
|
x |
dx |
(Ответ: |
5 |
|
|
|
). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
16 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. |
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx (Ответ: 1). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислить несобственные интегралы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
49 |
|
|
14 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18. |
|
|
|
e 3x dx (Ответ: |
1 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
(Ответ: ln 2 ). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. |
|
|
|
1 |
|
ln x |
dx (Ответ: интеграл расходится). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
84
4.ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
4.1.Схемы применения определѐнного интеграла
Практическое применение определенного интеграла связано с нахождением в геометрических или физических задачах аддитивных величин. Аддитивные величины связаны с
некоторым отрезком a, b |
изменения независимой переменной |
||
x таким образом, что при разбиении отрезка a, b |
точкой c на |
||
части a, c |
и c,b |
значение аддитивной |
величины, |
соответствующее отрезку |
a, b , равно сумме значений этой |
||
величины на отрезках a, c |
и c,b . Существуют два подхода к |
||
практическому применению определѐнного интеграла: метод интегральных сумм и метод дифференциала.
В методе интегральных сумм отрезок a, b
разбивается на n частей. Искомая величина A разбивается на n частичных
слагаемых. Каждое частичное слагаемое |
Ai |
представляется в |
||||
виде произведения некоторой функции f |
x , |
вычисленной во |
||||
внутренней точке ci |
i той части отрезка |
a, b , на длину этой |
||||
части xi . Приближенное значение величины |
A записывается |
|||||
в виде интегральной суммы: |
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
A |
f ci |
xi . |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
Точное значение |
величины |
A |
|
равно пределу |
||
интегральной суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
b |
|
A |
lim |
f ci |
xi |
f |
x dx. |
|
|
n |
|
i 1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
|
max |
xi |
0 |
|
|
|
85