Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Как отмечалось выше, вид неопределѐнного интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования, что используется при интегрировании способом введения новой функции под знак дифференциала. В данном варианте метода новая переменная интегрирования не обозначается новым символом, а берется в скобки для наглядности.

Пример 2.3. Найти

ln x

dx .

Решение:

ln x

ln x d ln x

ln x 2

C .

Пример 2.4. Найти

sin x cos xdx.

Решение:

sin x

3 / 2

sin x cos xdx

sin x 2 d sin x

C .

Часто замена переменной выполняется в виде x

t .

Тогда dx t dt и

f x dx

t dt .

Доказательство формулы производиться по аналогии с предыдущим посредством взятия производной от обеих частей:

f x dx			f x dx	x	x t	f x	t	f	t	t
	t			x
и
f	t	t dt	f	t		t .

Поскольку производные двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются на постоянное слагаемое

C .

Пример 2.5. Вычислить интеграл

x 2

dx.

3)2

Решение:

Положим

t ,

тогда

Отсюда

dt .

6 ln

3 2

t 2

Возвращаясь к переменной x , окончательно получаем

dx x 1 6 ln

x 1

x 3 2

x 1

Пример 2.6. Вычислить интеграл

e x

Решение:

Обозначим

e x

t ,

Тогда

lnt,

Следовательно,

d t

e x

t t

t 2

2t 1 1

t 1 2

t 1

e x

C .

e x

t 1 1

2.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u

u x

и v

v x

имеют непрерывные

производные. Тогда d uv

vdu

udv .

Интегрируя обе части равенства по x , имеем:

d uv

vdu

udv , uv

vdu

udv или

udv

vdu .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла udv к

вычислению интегралов vdu и dv , которое может оказаться

проще исходного.

Интегрирование по частям требует представление подынтегрального выражения в виде произведения множителей u и dv . Существуют три типа интегралов, в которых по разным соображениям происходит выбор множителей u и dv в подынтегральных выражениях.

В интегралах			первого		типа	P x ekx dx ,		P x sin kxdx ,
P x coskxdx, где			P x	многочлен, k			число,	в качестве		u
выбирается многочлен				P x ,	а в качестве dv			все остальные
сомножители.
Пример		2.7.	Вычислить			неопределенный			интеграл
xex dx , используя метод интегрирования по частям.
Решение:
xex dx		u	x	du	dx	xex	e x dx	xex	e x	C.
xex dx	dv e x dx v e x					xex	e x dx	xex	e x	C.
	dv e x dx v e x
Пример		2.8.	Вычислить			неопределенный			интеграл
x cos xdx.
Решение:
x cos xdx	u	x	du dx		x sin x		sin xdx x sin x		cos x	C.
x cos xdx					x sin x		sin xdx x sin x		cos x	C.
dv		cos xdx v		sin x

В некоторых интегралах приходится несколько раз интегрировать по частям.

Пример 2.9. Вычислить неопределенный интеграл

x2e x dx .

Решение:

x 2 e x dx

x 2 ,

2xdx

x 2 e x

2xex dx.

e x dx,

e x

Применим ко второму интегралу еще раз формулу

интегрирования по частям

x2e x

2xex dx

2x,

2dx

x2e x

2xex

e x dx,

e x

2 e x dx x2e x

2xex

2e x

интегралах

второго

типа

P x arcsin xdx,

P x arccos xdx , P x ln xdx ,

P x arctgxdx,

P x arcctgxdx

удобно

положить

dv P x ,

качестве

выбрать

оставшиеся сомножители.

Пример

2.10.

Вычислить

неопределенный

интеграл

x4 ln xdx.

Решение:

ln x, du

x 4 ln xdx

ln x

x 4 dx, v

C .

ln x

В интегралах третьего вида

eax sinbxdx,

eax cosbxdx в

качестве

выбирается

eax .

После

двукратного

интегрирования по частям решается уравнение относительно исходного интеграла.

Пример 2.11.			Вычислить		неопределенный		интеграл
e x sin xdx .
Решение:
e x sin xdx	u e x ,		du	e x dx		e x cos x
	dv	sin xdx, v		cos x

e x cos xdx	u	e x ,		du	e x dx	e x cos x	e x sin x
	dv		cos xdx, v		sin x

e x sin xdx.

Получили нетривиальный результат-уравнение относительно исходного интеграла. Обозначив его за J , получим уравнение

2.6. Интегрирование рациональных функций. Понятие о рациональных функциях.

Многочленом степени n (или					целой рациональной
функцией) называется функция вида
P x a	a x	a	2	x2	... a	n	xn	,
n	0 1		2			n

где n натуральное число, называемое степенью многочлена, ai постоянные коэффициенты, i 0,1,..., n.

Источник: https://studfile.net/preview/16563680/

e x sin x cos x

Перенося J в левую часть уравнения, имеем

Окончательно: e x sin xdx

4853
Оценка устойчивости наземных телекоммуникационных сетей связи
Проектная деятельность как средство формирования регулятивных универсальных учебных действий у младших школьников