Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

помощью замены переменной t x

p

,

dt dx к сумме двух

2

интегралов

Ax

B

x2 px

q k

tdt

Ap

dt

2

p 2

A

B

, где

q

.

t

2

2 k

2

t

2

2 k

4

Первый интеграл легко вычисляется:

tdt

1

d t 2

2

1

C .

t

2

2 k

2

t

2

2 k

2 1

k

t

2

2 k 1

dt

1 t 2

2

t 2

dt

1

dt

t

2 dt

.

t 2

2 k

2

t 2

2 k

2

t 2

2 k 1

t 2

2 k

Последний интеграл найдем с помощью интегрирования

по частям:

t 2 dt

u

t,

du

dt

tdt

1

t

2

2 k

dv

, v

t

2

2

k

2 1

k

t

2

2 k

1

t

1

dt

t

1

Ik 1.

2 1

k t

2

2 k 1

2 1 k

t

2

2

k 1

2 1

k

t

2

2 k 1

2 1 k

В результате получим рекуррентное соотношение:

I k

1

2k

3

I k 1

t

.

2

2k 2

2 k

1 t

2

2 k 1

Пример 2.14. Найти интеграл I3

dt

.

t 2

9 3

Решение:

Поскольку

I1

dt

1

arctg

t

C , а

t 2

9

3

3

I 2

dt

1

2 2

3

I1

t

1

arctg

t

t

2

9

2

9

2 2

2

2 2

1 t 2

9

18 3

3

1

t

C,

18

t 2

9

1

3

t

1

1

t

1

t

1

t

I3

I

2

arctg

C .

9

4

4 t 2

9 2

12

54

3

18 t 2

9

36 t 2

9 2

Q x

x x k

x

x

l ... x2

p x

q S

x2

p

2

x

q

p

...,

1

2

1

1

2

P x

A1

A2

...

Ak

Q x

x x1

x x

2

x x

k

1

1

B1

B2

...

Bl

...

x x2

x

x2

2

x

x2

l

M1 x N1

M 2 x N2

...

M S

N S

x2 p1 x q1

x2 p x q

2

x2 p x q

S

1

1

1

1

P x Q

P x

Q

P

Q

1

1

2

2

...

P

P

... ,

x2

p2 x q2

x2

p

x q

2

x2 p

x q

P

2

2

2

2

где A1, A2 ,..., Qp

-

некоторые

действительные числа,

Пример 2.15. Вычислить интеграл

x

1

dx.

x(x

2)2

x

1

A B

C

.

x x 2 2

x x 2

x 2 2

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю

и приравняем числители.

A

B

C

A x 2 2

Bx x 2 Cx

x x

2 x

2 2

x 2 2 x

A B x2

2A 2B C x 4A

,

x

2 2 x

A B x2

2A 2B C x 4A x 1.

x 2

A

B

0

1

1

x1

2 A 2B C 1

A

, B

, C 1 2 A 2B 1 .

4

4

x0

4 A 1

Подставим найденные коэффициенты в разложение

рациональной функции:

x

1

1

1

1

.

x-2 2 x

4x 4 x 2

x 2 2

Искомый интеграл представляется в виде суммы

интегралов от простейших дробей:

x 1

dx

1

1

1

dx

x(x 2)2

4x 4 x 2

x 2 2

1

1

ln

x

1

C .

ln

x

2

4

4

x 2

1

Пример 2.16. Вычислить интеграл

dx .

1)(x2

(x

x 1)

Решение: Разложим правильную рациональную дробь на

простейшие

1

A

Bx C

A x2

x 1 Bx x 1 C x 1

.

x 1 x2

x 1 x 1

x2

x 1

x 1 x2 x 1

Приравняем числители:

A x2

x 1 B x2 x C x 1 1.

x 2

A

B

0

x1

A B C 0

B A, C 1 A, A A 1 A 0, .

x0

A

C

1

A

1, B

1, C

0.

Подставим найденные коэффициенты в разложение

рациональной функции:

1

1

x

.

x 1 x2

x 1

x 1

x2

x 1

Окончательно получим:

1

dx

dx

x

dx

ln

x

1

xdx

2

x

1

2

1

3

(x 1)(x

x

1)

x

x 1

x 2

x

4

4

x

1

1

dx

x

1

d

x

1

2

2

ln

x

1

ln

x

1