Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Вычисление

неопределенных

интегралов

R cos x, sin x dx

с

помощью

универсальной

подстановки

tg

x

t сводится

к

вычислению

интегралов

от

дробно–

2

рациональной функции относительно t.

Действительно,

2sin

x

cos

x

2tg

x

2t

sin x

2

2

2

,

sin

2

x

cos

2

x

1

tg

2

x

1

t 2

2

2

2

cos

2

x

sin

2

x

1

tg

2

x

t 2

cos x

2

2

2

1

,

sin

2

x

cos

2

x

1

tg

2

x

1

t 2

2

2

2

x

2arctgt; dx

2dt

.

1

t 2

Поэтому

R cos x,sin x dx 2

R

1

t 2

,

2t

dt

.

1

t 2

1

t 2

1 t 2

Необходимо отметить, что, поскольку интеграл от

рациональной функции R sin x, cos x

сводится к интегралу от

dx

Пример 2.17. Вычислить интеграл

.

3 sin x cos x

tg

x

t

Решение:

dx

2

3 sin x cos x

dx

2dt

1

t 2

2dt

2dt

t 2

1

3

2t

1 t 2

3t 2

3 2t

1 t 2

t 2

1

t 2 1

d t

1

d t

1

2dt

dt

2

2

2t 2 2t

4

t 2

t

2

t

2

t

1 7

t

1 2

7

4

4

2

4

2tg

x

1

2

2t

1

2

arctg

C

arctg

2

C .

7

7

7

7

R cos x,

sin x R cos x,sin x ,

тогда с

помощью замены

cos x t

подынтегральная

функция

преобразуется в

Пример 2.18. Вычислить интеграл

sin x cos2 x

dx .

sin2

x 1

Решение:

sin x cos

2

x dx

cos x

t

t

2

dt

t

2

2

2

dt

sin2 x

1

sin xdx

dt

2

t 2

t 2

2

1

2

dt t 2

dt

t

2

ln

t

2

C

t 2

2

t 2

2

2 2

t

2

cos x

1

ln

cos x

2

C.

2

2

cos x

Если функция

R sin x, cos x

нечѐтна относительно cos x :

R

cos x,sin x

R cos x,sin x ,

тогда с

помощью

замены

sin x

t

подынтегральная

функция

преобразуется

в

рациональную функцию относительно переменной t .

Пример 2.19. Вычислить интеграл

sin2 x cos x

dx .

sin x

1

Решение:

sin2 x cos x

sin x

t

t 2 dt

t 2

1

1

dx

cos xdx

dt

dt

sin x

1

t

1

t

1

t

1

1

dt

t 2

t

ln

t

1

C

sin2 x

sin x

ln

sin x

1

C

t

1

2

2

Если подынтегральная функция не изменяется при

одновременном

изменении

знака у

sin x

и

cos x ,

т.е.

R

cos x,

sin x

R cos x,sin x ,

тогда

с

помощью

замены

tgx

t

подынтегральная

функция

преобразуется

в

sin x

tgx

t

, cos x

1

1

,

1 tg 2 x

1 t 2

1 tg 2 x

1 t 2

x arctgt, dx

dt

.

t 2

1

Пример 2.20. Вычислить интеграл

1

dx .

2 x

sin

sin x cos x

Решение:

tgx t

dt

1

dx

t 2

1

dt

sin2

dx

t 2

x sin x cos x

t

1 t

2

t 2 1

t 2 1

d

t

1

t

1

1

dt

dt

1

2

2

ln

2

2

C

t 2

t

t

2

t

1 1

t

1 2

1

2 1

t

1

1

4

4

2

2

2

4

ln

t

C

ln

tgx

C.

t

1

tgx

1

Пример 2.21. Вычислить интеграл

dx

.

sin2 x cos4

x

Решение:

x

arctgt

dt

dx

t 2

1

dt