Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

x t

6

5

3

3

dx

6t

dt

6

t

dt

6

t

1

1

dt

t 3

t 2

x

3 x

dx 6t 5 dt

t 1

t 1

6 t 2 t 1 dt

dt

t 3

t 2

6

t ln

t 1

C

t

1

3

2

2t 3

3t 2

6t 6ln

t 1

C 2 x 33 x 6 6 x 6ln

6 x 1

C .

Вычисление интегралов

R

x; m

ax

b

; n

ax

b

;... dx

cx

d

cx

d

осуществляется с помощью дробно-линейной

подстановки

ax

b

tW ,

где

W

является

наименьшим

общим

кратным

cx

d

чисел m, n,... .

Тогда

ax

b

cxtW

dtW

, x

tW d

b

t ,

a

ct W

WtW 1d a

ct W

tW d

b cWt W 1

dx

t dt

dt.

a

ct W

2

tW d

W

W

ax

b

ax

b

b

R x; m

; n

;... dx

R

, t m , t m ,...

t dt.

cx

d

cx

d

a ct W

1

3

x

2

Пример 2.25. Вычислить интеграл

x

2 2

x

2 dx.

x

2

t 3 , x 2 xt3

2t 3 , x

2t 3

2

,

x

2

t 3

1

dx

6t 2 t 3 1 2t 3

2 3t

2

dt

12t

2 dt

, то

t 3 1 2

t 3

1 2

1

x

2

2t 3

1

2 t

12t 2 dt

x 2 2

x 2 dx

2

t 3

1 2

3

2

t 3

1

4

12

t

3

dt

3

4

C

3

x

1

C.

16

16t

16

3

x

1

Пример 2.26. Вычислить интеграл

2

x

dx

.

2

x

x

Решение: Поскольку

2 x

t 2 , 2 x 2t 2

t 2 x, x

2 2t 2

, dx

2 2t 2

dt

2

x

1

t 2

1

t 2

4t 1 t 2

2 2t 2 2t

dt

8t

dt,

то

1

t 2 2

1

t 2

2

2

x dx

8

t

1

t 2

tdt

4

t 2 dt

.

2 x x

2 2t

2

1

t

2

2

1 t 2

1 t 2

Используем разложение рациональной дроби

t 2

1

1

1

1

.

1 t 2 1 t 2

2 1 t 2

2

1 t 2

В итоге имеем:

1

dt

1

dt

t

1

4

ln

2arctgt C

2

1

t 2

2

1 t 2

t

1

2

x

1

ln

2

x

2arctg

2

x

C .

2

x

2

x

1

2

x

Интегралы

вида

R x,

ax2

bx c dx

с

помощью

предварительного выделения полного квадрата

b

2

4ac b2

ax2

bx c a x

D (D

)

2a

4a

и замены переменной

x

b

z; dz

dx сводятся к одному из трех интегралов

2a

R x;

2

x2 dx ,

R x;

2

x2 dx ,

R x; x2

2 dx .

Указанные интегралы вычисляются с помощью

тригонометрических подстановок.

Интеграл

R x;

2

x2

dx

рационализируется с

помощью

подстановки

x

sint ,

dx

costdt .

Используя

2

z 2

2 1

sin2 t

cost , получим

R x;

2

x2

dx

R

sint,

cost costdt .

Пример 2.27. Вычислить интеграл

9 x2

dx.

x

Решение:

2

x

3sin t