Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А
4.Напишите таблицу интегралов.
5.Выведите формулу интегрирования по частям.
6.Каковы частные случаи применения формулы интегрирования по частям?
7.Опишите варианты замены переменной в неопределенном интеграле.
8.Сформулируйте теорему Безу.
9.Что называется корнем кратности k ?
10. Чему обязательно равна степень многочлена Pn x при разложении его на множители?
11.О чем утверждается в теореме о комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами?
12.Сформулируйте теорему о разложении правильной рациональной дроби на простейшие.
13.Каковы простейшие дроби?
14.Опишите универсальную тригонометрическую подстановку.
15.Какая подстановка применяется , если подынтегральная функция нечетна отностительно sin x ?
16.Что называется дробно – линейной подстановкой при интегрировании иррациональных выражений?
17.Каковы варианты тригонометрических подстановок при интегрировании иррациональных выражений?
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить неопределенные интегралы
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dx |
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(Ответ: |
ln 3x |
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9x2 |
6x 2 C ). |
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2 ctg2 x |
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2ctg x |
C ). |
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cos2 x |
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dx (Ответ: x 2 |
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1)2 |
C ). |
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x |
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4. |
e x5 x 4 dx (Ответ: |
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e x5 |
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C ). |
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ln x |
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dx (Ответ: |
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ln x 3 |
C ). |
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x |
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6. |
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xdx |
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(Ответ: |
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arcsin |
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x2 |
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C ). |
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x4 |
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7. |
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dx |
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(Ответ: ln |
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ln x |
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C ). |
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x 1 |
ln x |
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8. |
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xe5x dx (Ответ: |
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5x |
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1 e5x |
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C ). |
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xdx |
(Ответ: xtgx |
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ln |
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cos x |
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C ). |
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cos2 |
x |
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sin 2x x |
2 |
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cos2x |
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10. |
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x |
2 cos2xdx (Ответ: |
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C ). |
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x arctg xdx (Ответ: |
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x2 |
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arctgx |
x |
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C ). |
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arcsin xdx (Ответ: x arcsin x |
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x2 |
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C ). |
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x ln 3x |
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2 dx (Ответ: |
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x2 |
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ln 3x |
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C ). |
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e2x cos3xdx (Ответ: |
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e2 x |
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2 cos3x |
3sin 3x |
C ). |
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arcsin x |
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x2 dx (Ответ: |
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x2 |
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C ). |
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cos ln x dx (Ответ: |
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x |
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cos ln x |
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sin ln x |
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C ). |
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3x |
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2x |
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dx |
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(Ответ: 3ln |
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ln |
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ln |
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C ). |
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2x |
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dx (Ответ: |
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x |
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2 x |
2 2 |
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x |
2 |
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52
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x4 |
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3x 4 |
dx |
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(Ответ: |
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x 2 |
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x3 |
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arctg |
2x |
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3 |
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3 |
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20. |
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x |
dx (Ответ: |
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x3 |
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1 |
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1 |
ln |
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x |
1 |
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1 |
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arctg |
2x |
1 |
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C ). |
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||||||||||||||||||||
3 |
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||||||||||||||||
x 2 |
x |
1 |
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|
3 |
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|
3 |
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|||||||||||||||||
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3x |
1 |
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|
1 |
ln x2 |
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|
3x |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
21. |
|
|
|
|
|
|
|
dx (Ответ: ln |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
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|
|
2 |
|
|
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|
2 x2 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
||||||
|
|
3 |
arctg x |
|
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|
C ). |
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||||||||
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|
2 |
|
|
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||||||||||
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|
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22. |
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|
dx |
|
|
(Ответ: |
1 |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
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|
C ). |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
ln |
|
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|
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|
arctg x |
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x4 |
|
1 |
4 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||||||
|
|
23. |
|
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|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
1 |
|
|
2 tg x / 2 |
1 |
|
|
|
C ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
ln |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3sin x |
|
|
|
4 cos x |
|
5 |
|
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|
tg x / 2 |
2 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
dx |
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tg x / 2 |
5 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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24. |
|
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|
(Ответ: |
ln |
|
|
|
|
C ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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tg x / 2 |
3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
8 |
|
4sin x |
|
7 cos x |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
25. |
sin3 xdx (Ответ: cos x |
|
|
|
|
cos3 x |
|
|
C ). |
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
3 |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||
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|
26. |
sin3 x cos2 x dx (Ответ: |
|
cos5 x |
|
cos3 x |
|
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|
C ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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5 |
|
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|||
|
|
27. |
|
cos3 x |
|
dx (Ответ: |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
C ). |
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin 2 x |
|
|
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|
sin x |
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
|
|
28. |
|
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|
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|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
1 |
ln1 |
5ctgx |
|
|
C ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin2 x |
|
|
5sin x cos x |
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
C |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
cos x 2 |
|
|
|
|
tgx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
53
30. |
sin 3x sin 5xdx (Ответ: |
|
sin 2x |
sin8x |
|
C ). |
|||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
16 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6 |
x7 |
|
6 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
26 x |
|
|
|
|
||||||||||
31. |
|
|
|
|
dx (Ответ: 6 |
|
|
|
|
arctg6 x C ). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 x |
7 |
5 |
|
3 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
32. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx (Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
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|
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|
|
|||||||
6( |
|
x 1 3 3 |
|
x 1 |
4 6 x 1 7 x 1 |
|
|
|
6 x 1 5 |
|
|
3 x 1 |
2 |
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
33. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
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C ). |
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x |
2 |
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4x |
7 |
3 |
|
|
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|
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|
|
3 |
|
|
|
x2 |
4x |
7 |
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x 2 |
5 |
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x2 |
5 |
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34. |
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dx (Ответ: |
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ln x |
x2 |
5 |
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x 2 |
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x |
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x3 |
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49 |
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x 2 |
3 |
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35. |
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dx (Ответ: |
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49 49 |
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x 2 |
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3 |
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49 |
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x |
2 |
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x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2arcsin |
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
36. |
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4x |
x2 dx |
(Ответ: |
|
|
4x |
x2 |
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|
2 |
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|
|
2 |
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x 2 |
1 |
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
37. |
|
|
|
|
dx (Ответ: ln |
x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
C ).
C ).
C ).
C ).
).
54
3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
3.1.Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Пусть |
произвольная |
функция |
y |
f |
x определена и |
непрерывна на отрезке a, b , a < b . |
|
|
|
||
С помощью точек x0 |
a, x1, x2,..., xn |
b разобьѐм отрезок |
|||
a, b на n |
частичных отрезков |
x0 , x1 , |
x1 , x2 ,…, xn 1 , xn |
||
произвольным образом. Обозначим длину частичных отрезков x1 x1 x0 , x2 x2 x1 , ... xn xn xn 1 ,... . В каждом из частичных отрезков выберем произвольную внутреннюю точку
k |
|
|
|
|
|
|
|
xk 1 |
k |
xk |
(k=1,…, n ) и вычислим значение функции f(x) в |
||||
этих точках: |
f ( |
k ) |
(k=1,… n ). Умножим найденные значения |
||||
функции |
f ( |
k ) |
на |
соответствующие длины отрезков |
xk : |
||
f ( |
k ) xk . |
|
|
|
|
|
|
|
Составим сумму Sn всех подобных произведений: |
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
f ( k ) xk . |
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x) |
||||||
на данном отрезке. |
|
|
|
||||
|
Найдем предел интегральной суммы Sn при n |
, если |
|||||
длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, т.е. max xk 0 . Если такой предел существует, т.е. не зависит от
способа разбиения отрезка на n частей и выбора точек внутри частичных отрезков, то этот предел и называется
55