Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

нели; р — давление, подсчитывают по формуле (II) или по ее линеари­ зированному варианту.

Методы сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ввиду сложности исходных уравнений точного решения в замкнутом виде получить не удается. Возможны лишь различные приближенные подходы. Наиболее эффективный подход основан на применении метода Галеркина [9] и его модификаций. В результате задача сводится к ис­ следованию системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Полученная бесконечная система усекается, и дальнейшее исследование проводят для усеченной системы.

Один из методов сведения к обыкновенным дифференциальным урав­ нениям состоит в следующем. Выражение прогиба ш (х, у, /) пред­ ставляют в виде ряда по координатным функциям, удовлетворяющим условиям для прогиба

Поскольку условия совместной работы панели с подкрепляющей конструкцией очень сложны, условие для функции усилий в срединной поверхности можно формулировать «в среднем», требуя, чтобы осреднен-

Функцию усилий ищут в виде двух слагаемых, одно из которых является однородной квадратической функцией координат, а второе — соответствующим образом выбираемым частным решением уравнения совместности. Коэффициенты квадратической функции определяют, исходя из требования удовлетворения осредненных условий (68). После нахождения функции усилий требуем, чтобы первое уравнение, коротко записанное в виде Р (ю, Ф) = 0, после подстановки в него ряда (67) и выражения для функции усилий удовлетворялось в смысле метода Галеркина

Если в качестве координатных функций взять формы малых соб­ ственных колебаний панели с собственными частотами П/, то система (69) примет вид

Другим методом сведения задачи к системе типа (70) является непо­ средственное применение метода Галеркина не только к уравнению движения, но и к уравнению совместности. Этот метод удобен, например, когда для функции Ф поставлены следующие граничные условия:

а2Ф

ах2

В случае двучленного приближения для прогиба (67) система (70) может быть записана в виде

здесь введены безразмерные величины

и, кроме того, предположено, что 0 = 0 . Значения коэффициентов урав­ нения (72) для плоской изотропной панели можно найти в работе [16] в случае применения поршневой теории, а для случая применения линеа-

нок, имеющих защемленные стороны, значения коэффициентов си­ стемы (72) приведены в работах [40, 41]. Цилиндрическая панель, опер­ тая на прямоугольный в плане контур, рассмотрена в работах [53, 55]. Панели, бесконечные по размаху, рассмотрены в работах [8, 66]. Коэффициенты системы (72) для ортотропных и трехслойных пластин можно найти в работах [1, 2, 3].

Температурное выпучивание панелей. Панель, обтекаемая потоком газа, подвергается аэродинамическому нагреву и может выпучиться [13, 18]. Рассмотрим случай, когда поведение панели описывается системой (72). Статические конфигурации панели определяют из этой системы при условии, что ф/ не зависит от времени. В случае, когда й] Ф 0, система не допускает нулевого решения. Вообще говоря, коэф­ фициенты ^/зависятот параметра температуры. Поэтому при изменении температуры будет изменяться величина прогиба панели. Другой слу­ чай реализуется, когда все = 0. В этом случае система допускает тривиальное решение, соответствующее первоначальной плоской форме панели. Исследование устойчивости этого решения показывает, что на плоскости параметров скорости р. и температуры 6 можно выделить область устойчивости плоской формы панели. Амплитуды выпучивания можно определить нахождением нетривиального ие зависящего от вре­ мени решения системы (72) и исследования устойчивости этого решения. Фактически осуществляемые амплитуды выпучивания соответствуют устойчивому решению.

метров ц, 0, в которой нсвыпучениая панель будет устойчива. При этом имеется возможность прощелкивания панели. Область наиболее вероятного прощслкивания панели на рнс, 25 заштрихована.

Вышеприведенные результаты были получены при использовании поршневой теории для учета аэродинамического давления. Учет воздей­ ствия потока по более точным теориям не изменяет качественной кар* тины явления [56]. Вопросы температурного выпучивания панелей в потоке газа рассматривались в работах [13, 16, 53, 55, 82].

Установившийся флаттер панелей. Разрушение панелей, колеблю­ щихся в потоке газа, не носит катастрофического характера, а насту­ пает вследствие накопления усталостных повреждений. Для предсказа­ ния времени возможного разрушения панели необходимо знать в пер­ вую очередь амплитуды колебаний в области флаттера. Для оценки амплитуд колебаний могут быть применены известные методы теории нелинейных колебаний: метод гармонического баланса, метод малого па­ раметра, метод последовательных приближений и др. В области, при­ мыкающей к границе флаттера, удобен метод малого параметра. В более широкой области надежные результаты дает метод гармонического ба­ ланса (метод тригонометрических рядов).