Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

90.V о з з Н. М. ТЬе ейес! о! ап ех4егпа1 зирегзоп1с 11о^ оп 1Кс у1ЪгаЙоп сЬагас!ег1з!1сз о! !Ып су1|пс1г1са1 зЬейз. Л. Аегозрасе 5с1., уо1. 28, п. 12, 1961.

91.\у с п ■Н ш а - С Ь и. Вгеаййпв У1Ьга41опз оГ а рагНаПу Ш1ес1 су11п- <1г1са1 1апк-Ппеаг 1Неогу. Лоигпа! о! Арр1. МесЬ., V. , п. 4, 1963.

Г л а в а 1 0

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КОЛЕБАНИЙ И УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТЕМ

ВВЕДЕНИЕ

Понятие о статистической динамике механических систем. Раздел ме­ ханики, посвященный изучению поведения механических систем при раз­ личных случайных воздействиях, называют статистической динами­

математики, посвященной применению вероятностных методов к меха­ ническим, электрическим, радиотехническим, кибернетическим и тому подобным системам. Статистическая динамика механических систем связана с механикой общностью объектов, со статистической динами­ кой — общностью методов исследования.

Задачи статистической динамики механических систем. Эти задачи можно разбить на две группы (рис. 1). К первой группе принадлежат задачи, связанные с обеспечением надежности конструкций (см. гл. 8, т. 1). Эти задачи можно формулировать по-разному. В одних случаях цель состоит в определении вероятности отказа, достигаемой к концу установленного срока эксплуатации, или в определении среднего или наиболее вероятного срока службы. В других случаях требуется отыскание законов распределения параметров, характеризующих дефор­ мированное состояние (например, остаточных деформаций, которые накапливаются к концу срока эксплуатации). Может возникнуть задача об отыскании законов распределения внешних или внутренних пара­ метров (например, допусков при выполнении конструкции или уровня флуктуационных нагрузок), при которых обеспечивается нормативная надежность конструкции. Перечисленные примеры не исчерпывают всего многообразия задач. Их постановки могут видоизменяться в за­ висимости от назначения и условий работы конструкции.

Другая группа задач связана с обработкой и интерпретацией резуль­ татов испытаний конструкций на прочность, устойчивость и колебания. Наиболее типичным примером являются испытания тонких оболочек на устойчивость. Известно, что из-за большого разброса эксперименталь­ ных критических сил не удается провести полного сопоставления опыт­ ных данных и результатов теории. Для возможности такого сопоставле­ ния необходимо знать статистические распределения начальных непра­ вильностей, флуктуаций в осуществлении краевых условий и других факторов, влияющих на величину критических нагрузок. Основная за­ дача состоит в том, чтобы, зная распределение случайных параметров,

514 Статистические задачи колебаний и устойчивости

характеризующих оболочку и условия испытания, найти законы распределения критических сил. Может возникнуть и обратная за­ дача — на основании данных об эмпирических распределениях крити­ ческих нагрузок вынести суждение о законах распределения «внутрен­ них» параметров для испытуемой серии оболочек. Очевидно, указанный круг задач не связан непосредственно с проблемой надежности: эти задачи могли бы возникнуть и в том случае, если бы проблемы надеж­ ности не существовало.

Рис. 1. Классификация задач статистической динамики механических систем

Типы случайных факторов. Выбор метода исследования в первую очередь определяется вероятностной природой тех факторов, от ко­ торых зависит поведение конструкции (рис. 2). Одни из параметров представляют собой случайные величины. Другие являются случай­ ными функциями времени или пространственных переменных (нередко— и того, и другого), или, как принято говорить, представляют собой слу­ чайные процессы. Свойства конструкции, как правило, характеризуются случайными величинами; нагрузки, обычно, приходится трактовать как случайные процессы. Указанное деление является довольно условным.

Известно, что определенный класс случайных функций можно пред­ ставить в виде суммы конечного или бесконечного числа соответству­ ющим образом выбранных детерминистических (неслучайных) функций, зависящих от случайных параметров. Если число этих параметров ко­ нечно, то от операции над случайными функциями можно перейти к опе­ рациям над соответствующими случайными величинами. Если же

516 Статистические задачи колебаний и устойчивости

Квазистатические методы основаны на применении хорошо извест­ ных формул теории вероятностей. Эти методы с успехом могут быть применены к тем задачам, в которых случайные факторы описываются при помощи конечного (практически не слишком большого) количества случайных величин. Для того чтобы использовать квазистатические методы, необходимо располагать решениями соответствующих детерми*

Рис. 3. Классификация методов решения задач статистической дин

нистических задач во всей области изменения случайных параметров; дальнейшие операции сводятся к преобразованию распределений веро­ ятностей для этих параметров. Область применения квазистатических методов не ограничивается теми задачами, где нагрузки изменяются весьма медленно (квазистатически). Если случайные динамические нагрузки могут быть представлены в виде детерминистических функций времени, зависящих от конечного числа случайных величии, то квази­ статические методы и здесь могут оказаться весьма эффективными.

Корреляционные методы основаны на использовании связи между корреляционными (или моментными) функциями «входных» параметров (например, нагрузок) и «выходных» параметров (прогибов, внутренних усилий, напряжений). Эти связи могут выражаться как при помощи дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, так и — в простейших случаях — при помощи конечных соотношений. Спек­ тральный метод и метод канонических разложений занимают промежу­ точное место между корреляционными и квазистатическими методами. Область применения корреляционных методов — задачи, в которых

внешняя нагрузка представляет собой коррелированный случайный процесс. Методы оказываются особенно удобными, если нагрузка яв­ ляется гауссовским процессом, а система — линейной. Однако и для ряда нелинейных систем иногда удается получить эффективное реше­ ние, привлекая методы нелинейной механики.

В третьей группе методов используют дифференциальные и интегродифференциальные уравнения, описывающие эволюцию функции рас­ пределения случайных параметров во времени. Методы кинетических уравнений особенно подробно разработаны применительно к процессам без последействия (марковским процессам). Поэтому область эффектив­ ного применения этих методов — задачи, в которых выходные величины можно трактовать как компоненты некоторого многомерного марков­ ского процесса. Основное преимущество методов, основанных на рас­ смотрении марковских процессов, состоит в возможности непосред­ ственного получения функций распределения. Однако реализация этого преимущества может оказаться невыполнимой из-за трудностей отыска­ ния решений кинетических уравнений.

КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Предварительные замечания. Квазистатические методы основаны на формулах элементарной теории вероятностей н не требуют привле­ чения теории случайных процессов. Применение квазнстатических методов предполагает предварительное решение соответствующих детерминистических (статических или динамических) задач [3, 4, 25, 28, 501. Приложения квазнстатических методов к различным задачам устойчивости оболочек даны в работах (10, 12, 21—23]. Аналогичные методы применяют в теории автоматического управления и радиотех­ нике под названием «методы безынерционных преобразований» |27].

Условия применения квазнстатических методов. Эти условия со­ стоят в следующем [41:

1) входные параметры, влияющие на поведение конструкции, могут быть описаны при помощи конечного числа случайных величин

параметры, характеризующие форму и механические свойства конструк­ ции; <7а — параметры, характеризующие нагрузку и другие внешние условия эксплуатации или эксперимента;

2) выходные параметры, характеризующие поведение конструкции (перемещения, деформации, усилия, моменты и напряжения), также могут быть описаны при помощи конечного числа случайных вели­

чии Ух, о2. • •> ^л; 3) указанные две группы параметров связаны между собой извест­

которые предполагают однозначными и кусочно-непрерывными. Определение совместной плотности вероятности для выходных пара­

метров. Плотность вероятности р (ь>1, о2, уя) определяют по из­ вестным формулам для плотностей вероятности функций случайных