Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

156 Устойчивость оболочек

Энергия деформации в срединной поверхности и энергия изгиба

где Р = 2лЯЬ — площадь поверхности оболочки. Рассмотрим решения конкретных задач.

У с т о й ч и в о с т ь о р т о ­ т р о п но и о б о л о ч к и пр и

р а с п р е д е л е н н ы м и по т о р ц а м о б о л о ч к и . При­ нимаем следующее аппроксими­ рующее выражение для прогиба:

где /Л-, 1у — длины полуволн вдоль образующей и по дуге; а, Ь и й — постоянные величины. Рассмотрим нелинейную задачу (решение линей­ ной задачи получается как предельный случай). Выражение (117) подставляют во второе из уравнений (ИЗ); в результате интегрирова­ ния его определяют функцию ср. Далее вычисляют полную энергию системы; минимизация энергии по пяти параметрам приводит к системе пяти нелинейных уравнений. Результаты вычислений с помощью элек­ тронных цифровых машин показаны на рис. 18 П ]. На графике (рис. 18) обозначено:

е0, в — критическая деформация кольцевого выпучивания; у — харак­ теристика ортотропности оболочки»

при относительно сильных стрингерах величина у значительна, при сильных шпангоутах — мала; N а — верхнее критическое усилие сжа­ тия, отвечающее случаю осесимметричного кольцевого выпучивания; N — верхнее критическое усилие, соответствующее тому случа!

потери устойчивости, когда выпученная поверхность делится на прямо­

диаграмма имеет за точкой бифуркации обычный падающий участок.

няющаяся участком снижения величины сжимающих усилий, и оказы­ вается возможным определить нижнее критическое напряжение. Повидимому, при испытаниях реальных оболочек переход от одной ветви к другой будет осуществляться в процессе хлопков.

На рис. 19 показано изменение отношения нижнего критического усилия к верхнему в зависимости от у при ас = 4 и аи = 0,5. Эффект нелинейности оказывается наибольшим для изотропных оболочек. Этот эффект несколько ослабевает в случае оболочки, усиленной в про­ дольном направлении, и резко падает для оболочек, имеющих попереч­ ные подкрепления.

П о д к р е п л е н н а я о б о л о ч к а п о д в е р г а е т с я о д ­

158 Устойчивость оболочек.

На графике (рис. 20) изображена зависимость между сжимающим

усилием N и величиной приведенной деформации 7 +

Диаграммы относятся к оболочке, усиленной в осевом направлении. Сверху график ограничен линией, соответствующей случаю осесим­

метричного выпучивания. С увеличением д возрастает не только нижнее, но и верхнее критическое усилие; этим ортотропная оболочка отличается

от изотропной. В зависимости от параметра <7меняется и вид начального

участка закритической диаграммы. При малых значениях ц начальному участку диаграммы соответствует падающая характеристика. При зна­ чительном <7 получаются восходящие участки, при <7 = 4 начальный участок

получает форму петли. Можно сделать вывод,

что при наличии значи­ тельного внутреннего дав­ ления более эффективным оказывается усиление обо­ лочки в продольном на­ правлении: в этом случае величины Ыв и Ын оказы­ ваются относительно вы­ ше, чем для оболочек, уси­ ленных в дуговом направ­ лении.

При проектировании подкрепленных оболочек необходимо выбирать рациональное значение параметров, характеризующих подкрепления. Требованию наименьшего веса отвечает оболочка вафельного типа с весьма часто расставленными продольными и кольцевыми ребрами. Конструкция должна быть рассчитана так, чтобы в пределах каждой вмятины было расположено несколько подкрепляющих ребер; лишь тогда критическое напряжение может значительно возрасти по сравне­ нию со случаем неподкрепленной оболочки. Как показывают исследо­ вания, в вафельных оболочках, предназначенных для восприятия осевой сжимающей нагрузки, вес подкреплений целесообразно распределять примерно поровну между кольцевыми и продольными ребрами.

Круговые панели

Цилиндрическая панель при сжатии вдоль образующей. Рассмотрим задачу об устойчивости панели — незамкнутой цилиндрической обо­ лочки — при действии сжимающих усилий р, равномерно распределен­ ных вдоль криволинейных кромок (рис. 21). Через а и Ь обозначены размеры панели по образующей и вдоль дуги. Координату х отсчитывают, вдоль образующей; у — по дуге; К — радиус срединной поверхности. Панель шарнирно оперта по всем кромкам. Решая линейную задачу, исходим из уравнения (21); для рассматриваемого случая оно прини­ мает вид

Выражение для прогиба в соответствии с принятыми граничным условиями представим в виде

где т и п — числа полуволн вдоль образующей и по дуге. Подставляя это выражение в уравнение (122), нахо­ дим

Минимизируя р по ф, находим

Подставляя формулу (126) в равенство (124), определяем верхнее

Такая же формула (43) была получена для замкнутой оболочки, сжатой вдоль образующей. Формула (127) применима только к панели, охватывающей сравнительно большой центральный угол. Для весьма

пологой панели следует в формуле (125) принять л = 1, т = - | - ; при

этом будет ф = 2. Формулы (127), (128) справедливы при условии

т. е. если охватываемый панелью центральный угол отвечает нера­ венству

При меньших значениях угла 0, в случае, если отношение сторон панели оа является целым числом, критическое напряжение будет

нения (34) и (35). Приведем результаты решения нелинейной задачи для шарнирно опертой квадратной панели {а = Ь), полученные в предпо­ ложении, что ненагруженные кромки сближаются свободно, оставаясь прямолинейными. В первом приближении принимаем выражение для прогиба т в виде формулы (123); считаем при этом, что в обоих направ­

кромки лишь в среднем. Далее составляем уравнение Бубнова-Галер- кина

о о

(138) Сюда подставляем выражения для ш, Ф и выполняем интегрирова­