Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Устойчивость оболочек в пределах упругости	161
где р* к — по формулам (132); р* — по выражению (135); ^ =	~ —

безразмерный прогиб. Из условия минимизации р* по ^ определяют

нижнее критическое напряжение (при С = 0,14к)
200	/г2.	(140)
Рн=Рв — 9л°

Значение рн по формуле (140) лежит несколько ниже критического

напряжения для плоской панели, равного - 3 ( 1 - V 2) йЗ,6. На рис. 22

приведена зависимость р* ((;) по формуле (139) (кривая 2) в сравнении с уточненным решением (кривая /), полученным в конечных разностях

с помощью электронной				цифровой машины в предположении, что кром
ки панели остаются прямолинейными. Кри
вые относятся к случаю квадратной панели
при к =	12. Судя по этим				данным,		общий
характер	изменения р* описывается прибли
женным	решением удовлетворительно,						но ве
личина рн по формуле				(140)		лежит	ниже
уточненного		значения.
В более общем решении задачи, для пане
ли произвольной			кривизны		при	а=[= Ь, про
гиб был	принят		в виде
		с .	Ш Л А '		п п	у
IV	=	[ I 5 1 П	-------------------	5111	--------- г^ — +
					ь
	,	, .	* Ш Л А '	а п п у			(1 4 1 )
		/ 2 5 1 П - -------------		5111

Решение задачи подробно рассмотрено в работе [1 ]. Нижнее крити ческое напряжение при 6 > 20 оказалось равным р* = 0,26^. По-ви

димому, при более точном решении теоретическое значение рн должно упасть и приблизиться к значению 0,18/г, полученному для замкнутой цилиндрической оболочки. В то же время для пологой панели (при

к20) величина рн мало отличается от критического напряжения

для плоской панели. Следовательно, при проведении практических расчетов верхнее критическое напряжение нужно определять по фор мулам (133) и (135), а для нижнего критического напряжения прини

мать (в случае тщательно изготовленных оболочек): р* = 3,6 при

к 20; р* = 0,18/г при Л > 20. Для панелей, имеющих значительную начальную погибь, сравнимую с толщиной оболочки, следует прини мать р* = 0,12& при к > 20.

Цилиндрическая панель при сдвиге. Панель с шарнирно опертыми краями подвергается действию касательных усилий а, равномерно рас пределенных по всему контуру (рис. 23). В линейной задаче исполь зуют уравнения (20) и (18):

а2Ф	9	(142)
дх*	18 дхду	(142)
дх*	18 дхду	;
1	д'2и)	(143)
		(143)

- г ? ‘ ф =

162	Устойчивость	оболочек.
Выражение для прогиба представим в виде ряда
„ =	^ /ю 8 \| „	^ 5ЙЖ .	Ц44)

тп

Подставляя выражение (144) в уравнение (143), определяем функ цию напряжений в срединной поверхности

Ф = ■я2а2/?

				у1V /.				* X
								* X
					( - г - + - 5 - )
				.	т и х	п л у	,	зху.
				X 51П--- -----51П		- у -	4-	зху.
Составим уравнение Бубнова-Галеркина
Шр	1)	.	1 д2Ф	д*и> \	. 1 л х .	/л у
Шр	—	ч т - - к - - ь ё		+ 2а- Ш ? )	%т—

и подставим в него выражения для ши Ф; после интегрирования получим

аЬ

тАЕ

, л*й

{ т2

п1 \ 2

,тп

« [

«*(«*_+*.)*

л'8*

(та -

<•) и

- *

здесь учитывают лишь те члены, для

которых суммы /п +

/ и п + /

нечетны.

Вводя

обозначения

аЬ

(145)

получаем

уравнения

типа

АтпГта —

1‘1 (т а _

‘/

ттт- = 0,

(146)

р ) (яа — /г)

где

„

я2

( т 2 + л Ч 2)2

А2

4/л3Х2

тл

3(1 — V2) '

т пР

л2 ‘ (та+лг^ )-л ;

1285*

(И7)

Р —

здесь к — параметр

кривизны

по формуле

(132).

Устойчивость оболочек в пределах упругости	163
Решая задачу в первом приближении, примем числа т, п,	/ рав

ными 1 и 2. Тогда получим следующую систему уравнений типа (146):

А ц[ц	4	^ 22/аа	1
	д~Р^2		д"Р/п = 0»
•^12^12 Н	2	^21/21 Ч	2
	д“ Р^21 =		д" Р/12 = О-

Условие нетривиального решения этой системы имеет вид

^11		4
^11	—	Г *
	—	Г *
1		Ак
г р		Ак
г р
о		О
		-9 -Р
о		О
		“Г *

Это уравнение распадается на два:

^11	4		^12	2
	“ Г р	— о-		т	р

1			2		= 0;
	А22
- — р			" Г р		А 21

первое из этих уравнений соответствует четной сумме индексов т Ч- п, второе — нечетной. Отсюда определяют два корня для р:

Р1 = ~2~V АцАгъ Рг= ~2~ V А^Ац

и значения верхнего касательного напряжения

»	9л2 л/~	,	♦ _	9я2 л/~
1	256 У Л11Лз2 >		2 ”	256 У Л12л 21 *	(148)

Для квадратной панели (X = 1) получим

Зл4	1 /" Г, , 3(1 — у2) ,2
32(1	1 Ч-	4л4

(149)

Во втором приближении учитывают всевозможные комбинации индексов, равных 1, 2, 3. Для случая четных сумм индексов получаем следующее выражение [I]:

•	л2 1 Г ^н^ггЛз^81^зз.	1150)
51“	Т28" V

164	Устойчивость оболочек.
где
1*1 =	Лц А ю ^ 0 2 5 ^ 8 1	■+■	^ 3 3	^ *+■ Л31Л33 ^"75" ^11 +	^ 1 3 ^ .
Для	нечетных сумм	т +	п
	„*_	я3	1 /"	Льз-^зг-^гзЛзз	(151)
	*2 _ !Ж		V	ц	(151)
	*2 _ !Ж		V	ц
где	36	4		_4_
	36	4		_4_
	625	81		75

Верхнее критическое напряжение 5в, как правило, определяется величинами, относящимися к четным суммам индексов. Исключение

составляют	удлиненные		панели	.
(Х^З) малой	кривизны		(Л < 7 ).	5"=,5\|л*
				35
				30
				25
				20
				15
				10
				5
О	1 2	3	Т
	Рис.	24

Рассмотрим результаты решения нелинейной задачи. Используем

уравнения (34) и (35). Выражение для						прогиба		принимаем в виде
ш	. .	пх	.	пу	. ,	.	2пх	. 2пу	.	,, ГЛ.
	51П —		51П	-2 -	+	51Л		51П		(152)
Решаем методом		Бубнова-Галеркина.					Зависимости		5* (0,	полу

ченные для плоской панели (к = 0) и цилиндрических панелей с кри визной к — 12 и к = 24, показаны на рис. 24; во всех случаях принято

Х = 1. Нижнее критическое напряжение $* снижается по сравнению

с 5* примерно на 30% для к = 12 и на 50% для к = 24.

Для практических расчетов следует пользоваться графиком рис. 25, составленным с учетом экспериментальных данных.

КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

Исходные зависимости линейной теории для круговых оболочек

Расположим оси координат так, как показано на рис. 26, а. Начало координат совпадает с вершиной конуса. Положение точки К средин ной поверхности определяется радиусом-вектором /*, проведенным

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009