Устойчивость оболочек в пределах упругости |
165 |
из вершины конуса О, и углом 0 между осевой плоскостью, проходящей через рассматриваемую точку, и некоторой неподвижной осевой пло скостью.
Длину вектора г обозначим через 5, угол наклона образующей к основанию — через а. Проекции г на оси координат
|
х = $ 5И1 а; |
у = з со$ а*со$ 0; |
г = в соз а- з т 0. |
(153) |
||
Вектор г можно разложить по о] |
I Ь\ |
|
||||
г = 5 (/ з т |
а 4 - У сое а «саз 0 + |
|
|
|||
|
4-Лсо5а.51П 0). |
(154) |
|
|
||
Радиусы |
кривизны |
срединной |
|
|
||
поверхности |
(рис. 26, б) |
|
|
|
||
/?, |
= со; |
|
(155) |
|
|
|
Выпишем выражения для дефор |
|
|
||||
маций в срединной поверхности и |
|
|
||||
параметров |
изменения |
кривизн. |
|
|
||
Обозначим через и, о, |
ш смещения |
|
|
|||
точек срединной поверхности соот |
|
|
||||
ветственно в направлении |
образую |
|
|
|||
щей, вдоль параллельного круга (по |
|
|
||||
окружности, получающейся при пе |
|
|
||||
ресечении |
срединной |
поверхности |
|
|
||
с плоскостью, перпендикулярной к ос и оболочки) и по внутренней нор-
мали |
к поверхности. Удлинения и сдвиг |
в срединной поверхности |
|||
будут |
(1) |
|
|
|
|
|
«1 |
ди_' |
|
|
|
|
дз 9 |
|
|
||
|
1 |
дн |
и |
|
(156) |
|
5 со$ а * |
60 |
5 |
5> |
|
|
|
||||
|
1 |
ди .д о |
± |
|
|
|
зсоза* |
60 |
~*"б5 |
5 ’ |
|
где е1 и е2 — деформации удлинения соответственно вдоль образующей
ивдоль дуги параллельного круга; у — деформация сдвига. Изменения кривизн и кручение определяют по формулам
д2ьу
|
|
= — дз2 ; |
|
|
|
|
_____ 1 |
д2ш _ |
а |
до____1^ ды) |
(157) |
||
1— |
52 соз3 а |
60* |
з3соз а |
60 |
5 дз * |
|
1/ |
а до_2 |
а |
2 |
д2ш____ 2 |
6иЛ |
|
2\ з |
дз |
з3 |
5 соз а |
6з60 |
5? соза |
60/ |
166 |
Устойчивость оболочек |
|
|
|||||
В упрощенном |
варианте, |
пренебрегая |
в |
выражениях для |
и х |
|||
членами, зависящими от перемещения V, получим приближенные вы |
||||||||
ражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
д2хл) |
1 |
дш |
|
||
|
" 53 СОЗ3 а |
" |
д 0 2 |
|
5дз |
* |
(158) |
|
|
1 |
д2ш |
, |
1 |
ди) |
|||
|
|
|||||||
X е |
- я соз а |
дз дВ + Я2 соз а |
00 |
|
||||
Усилия и моменты, действующие на элемент оболочки, показаны на рис. 27. Через Ы1г Т12 обозначены погонные нормальные и каса тельные усилия, М 1} М 2, Н12— изгибающие и крутящий мо-
менты.
Уравнения равновесия эле мента оболочки и уравнение сов местности деформаций для безмоментного основного состояния (до потерн устойчивости) сво дятся к системе следующих упро щенных уравнении [1]:
|
|
|
|
|
|
|
|
Оу4ш — _,2_ — ч = 0 ; |
(159) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у 4ф + |
|
= О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ГАе |
° |
12(1 — V*) ; Н— толщина оболочки; ц — фиктивная попереч- |
||||||||||
ная |
нагрузка, |
|
Я — N |
|
|
|
+ |
Т12%; |
|
|
(160) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ср— функция |
усилий. Подставим |
в |
формулу (160) |
выражения (157) |
||||||||
и (158); при Т12 = 0 получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
д*и) |
|
( |
1 |
|
дгш |
1 |
дхы \ |
(161) |
|
|
|
|
дз2 |
2 \ 5 соз а |
д02 |
з * сШ/ ’ |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
Операторы |
у 2 и у^. имеют |
вид |
|
|
|
|
|
||||
|
|
^ = 7с5г [-Я- ( 5 6050 ж ) + ж ( теЬ |
■ж ) ] ; |
|
||||||||
|
|
|
|
„2 |
|
|
|
д2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ук~ |
|
5 |
' да? > |
|
|
|
||
отсюда |
находим |
д2ш |
|
1 |
две |
1 |
д2ви ш |
|
||||
|
|
|
у 21 |
|
(162) |
|||||||
|
|
|
дз2 |
' |
з |
дз |
|
52 соз2 а * дб2 * |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
|
167 |
|||||||||||||||
и далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? « » = |
V 2 ( — |
|
+ — |
■— |
+ ____-_____— |
) |
- |
|
||||||||||
|
х/ |
|
у |
\ |
|
|
1 |
|
5 |
да + |
соз3 о |
аез |
~ |
|
|||||
1 |
[ |
д |
Г |
|
|
д |
( |
52ц) |
1 |
дш |
|
1 |
|
д*ьи \"| |
|||||
5 соз а | |
дз |
[5 |
08 а |
дз |
\ |
дз2 |
5 |
|
дз |
|
з2 соз2 а ' |
502 / ] |
|||||||
, |
д |
Г |
1 |
|
д |
/ |
52ш |
|
[ д н о |
|
|
I |
|
52а> \ |
1 ) |
||||
|
дЭ |
[. з соз а ’ |
50 |
\ |
дз2 |
‘ |
~ |
’ |
дз |
|
з2 соз3 а |
503”) ] | |
|||||||
|
|
|
д*ш |
|
2 |
|
5аау |
|
1 |
52до |
|
1 |
дш |
, |
|
||||
|
|
|
дз* |
|
з |
‘ |
5з3 |
|
|
|
дз2 |
"Н~ |
‘ 5 Г + |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
д*& |
|
|
2 |
|
53ш |
|
|
|
|||
|
|
+ ■з2 соз2 а |
|
дз2502 |
з3 соз3 а |
дз 502■+ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
+ з4 соз2 а |
|
д2и) |
|
1 |
|
д*и> |
|
|
|
(164) |
||||||
|
|
|
|
502 |
|
з4 соз4а |
|
504 |
* |
|
|
||||||||
Подставляя |
выражения |
(163) и (164) |
в |
уравнения |
(159), |
полу |
|||||||||||||
чаем следующие окончательные уравнения линейной теории: |
|
||||||||||||||||||
|
■О / 54ш |
. |
2 |
|
|
|
|
а% |
|
|
1 |
|
д*ш |
|
|
||||
|
|
К "^4" |
|
з2 соз2 а |
|
5з3 503 |
|
з* соз4 а |
504 |
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
53и» |
|
|
|
4 |
|
|
5% |
|
2 |
53оу |
|
|
||
|
з3 соз2 а |
* дз 502 |
|
|
з4 соз2 а |
|
502 |
+ |
з |
"533 |
|
|
|||||||
|
_1_ |
д2и) |
|
, |
1 |
5ш \ . |
|
« |
52ф |
, а; |
52ш |
|
|
||||||
|
з2"~д& |
|
|
|
|
|
|
|
|
• - ^ Г + ^ 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
+ |
ЛГ ( .___ 1_____\ |
= 0; |
з |
|
дз |
) |
' |
|
|
(165) |
|||||||
|
|
^ |
- |
\ |
52 соз2а |
|
502 |
^ |
|
|
|
|
|||||||
|
5*ф |
+ |
|
|
|
|
|
54ф |
|
|
1 |
|
54Ф |
|
|
|
|||
|
|
5з4 |
з2соз2а |
|
дз1 |
й + ' |
з4 соз4а |
' 504 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
502 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
53ф |
|
, |
|
4 |
|
|
53ф |
2 |
<Ру_ |
|
|||||
|
з3 соз2 а |
|
дз 502 |
г |
з4 соз3и |
|
502 |
з |
5з3 |
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
_1_ |
ду |
, рА *еа |
У» |
|
|
|
(166) |
|||||
|
|
яа |
а$3 |
' |
яз |
дядз |
* |
|
^ |
|
аз8 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
168 |
Устойчивость оболочек |
|
Устойчивость при осевом сжатии |
Рассмотрим |
решение линейной задачи для круговой конической |
оболочки, сжатой вдоль оси. Если предположить, что изогнутая поверх ность оболочки после выпучивания остается осесимметричной, то и) =
= ш (а); ф = ф (а) и уравнения (165), (166) приведутся |
к виду |
||||||
, |
2 |
йз2 |
1 |
с12и>) |
|
|
|
+ |
Т |
а2 |
йз2 |
|
|
|
|
|
|
ййи) |
|
42< |
= 0; |
|
(167) |
+ АГ1 <1з2 + |
а |
йз1 |
|
||||
й4ф |
г_ |
_^ф |
1 |
|
1 |
йз |
+ |
Iи4 + |
; “ |
си3 |
52 (1з~ |
53 |
|||
|
+ Е Н - |
й2ю |
= 0, |
|
|
(168) |
|
|
|
|
йз2 |
|
|
|
|
ЕЛ3 |
|
|
|
|
|
наклона обра |
|
где О — -^2*^-----Н— толщина оболочки; а — угол |
|||||||
зующей к основанию. Уравнения (167) и (168) можно записать в сле дующей форме:
+ |
^2ф |
4 - Л/х |
сГ2ш> |
= 0; |
|
|
(169) |
5 * <1$2 |
йз2 |
|
|
||||
|
|
|
|
а |
д.2и> |
= 0. |
(170) |
|
|
|
|
|
йз2 |
Если считать, что при потере устойчивости образуется большое число волн и длина каждой волны будет невелика, величину а в преде лах одной волны можно считать постоянной. Рассмотрим волну, при
мыкающую к большому основанию конуса. Положив а = 11г где |
— |
|||||||
расстояние по образующей от вершины до большего основания, и |
= |
|||||||
= — |
где N4 — сжимающее усилие по окружности большего основа |
|||||||
ния, из уравнений (169) и (170) получим |
|
|
|
|||||
|
„ |
„о |
42ш |
, |
а |
й2< |
п, |
|
|
(1&* |
1 |
Й52 |
’’ |
1Х ' |
й$2 |
1 |
(171) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение этих уравнений |
ищем |
в форме |
|
|
|
|||
|
01 |
= |
А 8Ю |
|
(5 — /,); |
|
(172) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф = В 81П — (5— /,),
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
169 |
где К — длина волны. Подставляя выражения (172) в уравнения (171)
и приравнивая к нулю определитель |
получающейся при |
этом си |
||
стемы уравнений, находим |
|
|
|
|
|
|
ЕИ_ |
*б2а |
(173) |
|
(V? = ср* + |
|
||
|
|
Р3 |
|
|
где р = |
. Минимизируя |
по р2, получ |
|
|
|
Р2 |
|
*б2 а |
(174) |
|
|
Ч |
||
|
|
|
|
|
В результате подстановки выражения (174) в формулу (173) полу |
||||
чаем значение верхнего критического усилия |
|
|||
|
|
(б |
|
(175) |
|
|
|
— V2; |
|
|
|
|
|
|
При V = |
0,3 |
Р7.2 |
Г/,2 |
|
|
Л] = 0,605 |
(176) |
||
|
м |
0,605 |
||
|
|
*\0 |
|
|
где |
д — радиус кривизны срединной поверхности |
у боль |
||
шего основания.
При исследовании случая, когда выпучивание оболочки неосесим метричное, в уравнения (165), (166) подставляют следующие функции
прогиба и |
усилий: |
(177) |
|
ю = щ С08 п 0; <р = фх соз лО, |
|
где ш1= |
(в); фх = ф! ($); п — число волн по параллельному |
кругу. |
Верхнее критическое напряжение в этом варианте решения, как и при осесимметричном выпучивании, определяют по формуле (176) [1]. Как видим, выражение для верхнего критического усилия получается таким же, как в случае осевого сжатия цилиндрической оболочки ра диуса /?0. Формула (176) справедлива при условии, что число волн вдоль образующей достаточно велико. Можно считать, что это условие
выполняется при а > 30°.
Реальные конические оболочки, сжатые вдоль оси, выпучиваются хлопком по ромбической форме с образованием двух или нескольких поясов выпучин у большего основания. Поэтому необходимо рассмо треть устойчивость оболочки в большом. Можно принять, что нижнее критическое усилие может быть определено, как и для цилиндрической
оболочки, по формуле |
|
N,,„ = 0,18Е -% -. |
(178) |
Ло |
|
Формулами (176), (178) можно пользоваться при проведении практи ческих расчетов, принимая во внимание рекомендации, относящиеся к случаю осевого сжатия цилиндрической оболочки.