Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Аппроксимируем прогиб выражением

Первый член в формуле (270) отвечает решению осесимметричной линейной задачи для защемленной пластинки, а второй — отображает изгиб по п волнам вдоль дуги с равными амплитудами к центру кри­ визны; эти два члена во взаимном сочетании характеризуют образова­ ние ряда вмятин, преимущественно направленных к центру кривизны.

В результате подстановки выражения (270) в правую часть уравне­ ния (268) находим

где # 0, /?Л — функции р, содер­ жащие параметры /ь / 2- Интег­ рирование равенства (271) про­ водим с учетом того, что в центре панели при р = 0 величина сгг должна быть ограниченной; при этом приходим к следующей за­ висимости:

А - ф = ф 0 -\- ф п соз Лф -|-

где Ф0, Фл, Ф2П — новые функции р, / ь / 2. Интегрируя, далее, уравне­ ние (267) по методу Бубнова-Галер кина, получим

здесь введены параметры

Коэффициенты С*, . . С6 и В1г . . Вв зависят от числа волн п. Исключая | из системы (273)—(274), определяем зависимость параметра поперечной нагрузки <7* от безразмерной величины Ё, характеризующей прогиб центра панели. Случай п = 0 соответствует осесимметричной форме прогиба.

Зависимость <7* (0 для -|г- = 100 при а = 0,1 и /1 = 0 (сплошная

линия) приведена на рис. 44. Кривые для п Ф 0 до 5 = 7,5 распола­ гаются выше кривой, отвечающей осесимметричной форме равновесия, а при I, > 7,5 — ниже этой кривой. На рис. 44 для примера приведена штриховая линия, соответствующая несимметричной форме выпучива­ ния при п = 10. Следовательно, несимметричная форма должна иметь место при прогибе в центре, равном 7,5 толщинам оболочки. В

приведенном примере Гпри-“ = 100^ огибающая семейства кривых,

Ниже приведены окончательные результаты решений, полученных с помощью электронных цифровых машин. Данные, относящиеся копределению верхней критической нагрузки ?в». показаны на рис. 46. Кри­

вая 1 соответствует жесткому защемлению по контуру» кривая 2 — шар­ нирному закреплению с несмещающдмися в плане точками контура, кривая 3 — случаю шарнирного, опирання со свободно смещающимся в плане контуром. По оси абсцисс отложена величина

здесь <7* — значение верхнего критического давления для полной сферы, определяемое по формуле (220); обозначим его через д0,в. Тогда будет

ие. в кам кривых, показанных на рис. 46 штриховой линией, сходился

настолько медленно, что относящиеся к указанным участкам значения нельзя считать оконча­

разования сферических панелей различной кри­ визны по данным экспе­

риментов, проведенных над оболочками, изготовленными из магниевого сплава и жестко защемленными по контуру, показаны на рис. 47. Про­ гиб, максимальный в центре и монотонно уменьшающийся по направ­ лению к краю (рис. 47, а), имел место при малых р. При р > 20 макси­ мальный прогиб не в центре (рис. 47, б); в случае развитой вмятины максимум прогиба будет уже на расстоянии половины радиуса от центра. При р ;> 55 появлялся новый пик в центре (рис. 47, в).

При 15<Зр<*30 величина <7« при шарнирном закреплении (кри­ вая 2 рис. 46) лежит выше, чем при защемлении панели по контуру. Это объясняется, возможно, различным влиянием изгибных напряже­ ний, образующихся у края. В остальной области изменения р случаю шарнирно закрепленной оболочки соответствуют значения г|*. меньшие, чем для защемленной. Сильно падает значение Т1в при свободно смеща­ ющемся в плане контуре (кривая 3, рис. 46).

Выпучивание реальных оболочек происходит при нагрузке, лежащей, как правило, значительно ниже дв. Поэтому данные для расчета можно