188 Устойчивость оболочек
жесткость на изгиб в плоскостях, касательных к срединной поверхности. Будем считать, что точки, принадлежащие концевым сечениям оболочки, свободно скользят вдоль ребер. Принятым допущениям соответствуют
следующие граничные условия для краев х = |
0, х = |
а: |
|
а» = 0; |
= 0 ; Ох = 0; |
т = 0. |
(252) |
Аналогичные условия будут для краев у = |
0, у = |
Ь. Оболочка испы |
|
тывает действие поперечной нагрузки интенсивностью <7, равномерно распределенной по всей поверхности.
При решении задачи используем уравнения (248а)—(249а); при
мем ю0 = 0 и запишем их в виде |
|
|
|
|
Х = - % - ч * щ - Ц Ф , |
щ ) - ь х ^ |
- к у ^ |
- -----2 - = 0 ; |
(253) |
Г =~Ё~ V4® + -§ ~ 1 |
+ |
кх1 % г + |
к»1& ~ = °- |
(254) |
Функции прогиба и напряжений аппроксимируем с помощью сле дующих выражений:
Щ |
= |
[ г 51П — 31П |
о ’ |
Ф = А х 51П — 51П |
о |
. |
(255) |
|
|
а |
а |
|
|
||
Первые |
три |
граничных |
условия |
типа (252) удовлетворяются на |
|||
всех кромках; четвертое условие — лишь «в среднем»; так, для кромок
ь
х = 0, х = а это условие вы няется в виде — I т йу = 0. Урав-
(X V
а
нения Бубнова-Галеркина в применении к двум уравнениям системы (253)—(254) можно записать
аЬ
| |
| |
X 51П ■— 51П |
йх Ау = 0; |
|
о |
о |
|
|
|
а Ь |
|
|
|
|
| |
| |
У 5Й1 ■—- 5Ш ^ - й х й у = 0. |
(256) |
|
о |
о |
|
|
|
Подставив в уравнение (256) выражения (253)—(255), после инте грирования приходим к системе двух уравнений, из которых получаем следующую зависимость между нагрузкой и прогибом:
+ |
(257) |
|
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
189 |
|||||||
здесь введены безразмерные |
|
параметры |
|
|
|
||||
кха2 |
|
ЬУЬ2 |
к |
= кх -{- ку\ |
|
|
|
||
|
|
|
ку ~ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 = |
- |
|
|
' аЬ \2 |
|
|
(258) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для квадратной |
панели |
(а = Ь) |
при V = 0,3 |
будет |
|
||||
|
д* = 8.77С3 — 2,46/г*^2 + (0,154/г*2 + |
22) ^ |
(259) |
||||||
В случае круговой цилиндрической оболочки, если координату г/ |
|||||||||
отсчитывают вдоль дуги, надо принять кх = 0, ку = |
И |
параметр А;* |
|||||||
будет к* = |
Д/Г Для сферической оболочки кх = |
|
|
при с = 5 |
|||||
величина к* = |
252 |
|
|
|
|
|
|
||
ДЛ |
|
|
|
|
|
|
|||
Графики |
|
|
|
|
|
Л* приведены на |
|||
<7* (5) по формуле (259) для различных |
|||||||||
рис. 41 штриховыми линиями. При малых к* величина д* непрерывно
возрастает, как и в случае плоской панели. При больших к* диаграмма получает нисходящий участок. Для определения предельного значе ния /г*, при котором становится возможным прощелкивание, исследуют
производную-^—-. Приравнивая ее нулю, находят значения С» отве
чающие верхней и нижней критическим нагрузкам:
1 \4
190 |
Устойчивость оболочек |
|
В точке, |
определяющей границу прощел кивания, диаграмма |
(ф |
имеет точку перегиба с горизонтальной касательной. В этом случае подкоренное выражение в формуле (260) обращается в нуль. Предельное значение к* будет
я* ( х + х ) а |
при Г = — к* |
1^ 6(1 • - V 3) |
ь 32 |
При достаточно малых значениях кривизн прощелкивание оболочек будет исключено (см. рис. 41), однако в этих случаях начальный участок диаграммы имеет малый угол с осью абсцисс, и жесткость оболочки ока зывается. незначительной. Поэтому важно возможно точнее определить
9в и Ян Для оболочек относительно
большой кривизны.
В уточненных решениях функ ции и»иФ выражаются в виде рядов
VI г |
1 ях |
ту |
|
|
1.1 |
. тх . |
ту |
|
|
Ф = |
(261) |
|||
' з1п----- зт -Ц г“ |
||||
|
а |
Ъ |
|
|
й /
Решение будет тем точнее, чем большее число членов удерживается в рядах (261). Уточненные диа граммы, полученные по результа там решения, выполненного с по мощью цифровой электронной машины, приведены на рис. 41 сплошными линиями. Отличие от данных первого приближения ока
зывается существенным, начиная с к* «а 36. Уточненные решения дают несколько меньшие верхние критические нагрузки; при этом заметно возрастает нижняя критическая нагрузка.
На рис. 42 показана зависимость верхней и нижней критических нагрузок от параметра к* для панелей с различным отношением сторон по данным четвертого приближения при V = 0,3. Прощелкивание
будет при к* > |
18 для X = 1, при к* >►20,4 для X. = |
и ПРН > |
> 30 для X = |
0,5. |
|
Если в решении исходить из аппроксимирующего выражения для Ф в виде Ф = С/ (х) V (у), где V и V — «балочные» функции, удовлетво ряющие условию защемления балки по краям, то четвертое граничное условие (252) может быть выполнено во всех точках края. При этом для квадратной панели в уравнении (259) заметно изменяется только коэф фициент при р ; он оказывается равным 7,48 вместо 8,77.
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
191 |
Исследование задачи в предположении, что ребра, окаймляющие панели, остаются прямолинейными и вместе с тем свободно сближаются между собой, приводит для квадратной панели в первом приближении к следующему уравнению (при V = 0,3):
я* = 7,5^э _ 2 , 0 6 + (0,154Л*2 + 22) |
(262) |
В случае несмещающихся ребер зависимость имеет вид
Я* = 28,9^3 — 6,1 |
+ (0,56*2 + 22) |
(263) |
Для удлиненной цилиндрической панели (а > Ь) может быть полу чено точное решение задачи [2]. Окончательные результаты для верх него и нижнего критических давлении для панелей различной кри
визны н при разных условиях закрепления приведены в табл. 3. Под ^
н я*2 понимают соответственно параметры верхнего и нижнего значений критических нагрузок:
3. Критические нагрузки для удлиненных цилиндрических панелей
Параметр |
Шарнирное закрепление |
Защемление по длинным |
||
ло длинным кромкам |
|
кромкам |
||
КрП Ш 131Ш |
|
|
|
|
к |
|
|
* |
|
|
*1 |
<7о |
ч |
|
5 |
4,29 |
3.94 |
|
|
10 |
19,4 |
—2, 60 |
__ |
— |
20 |
60,6 |
—26,5 |
95,0 |
47,4 |
30 |
95.5 |
—44,5 |
— |
— |
40 |
— |
— |
255 |
65,2 |
Коническая панель
Рассмотрим случай пологой конической панели, круговой в плане
при подвергающейся действию поперечной нагрузки интен
сивностью д (рис. 43, а). Примем, что панель защемлена по контуру
а) |
I) |
6) |
Рис. 43
и точки края свободно перемещаются в плане (скользящая заделка). Особенности задачи, связанные с наличием вершины конуса, учитывать не будем.