Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Свободные колебания (приближенные исследования)

309

Согласно варианту 5 необходимо принять за функцию X (х) кривую ста­ тического изгиба, вызываемого равномерно распределенной нагрузкой (рис. 7, б)

(51)

При этом

тХ ((х =

т:&1*

_

Р

тХ* ёх =

13т*ё*1*

20Сё

’

)

3240 (Её)*

По формуле табл. 12

 

I

 

 

 

 

 

 

 

ёх

 

 

 

 

|* тА

162ЕУ

Рг = 6

0

 

 

/

 

 

т а *

*

1шА'г Лс

(52)

что очень близко к точному значению (48).

Формула Граммеля

Формула Граммеля также дает всегда завышенные результаты и в за­ висимости от вида колебаний принимает форму, указанную в табл. 13.

13. Формулы Граммеля для определения квадрата собственной частоты

Вид колебаний

 

Формула

 

/

 

 

 

|

тХ2ёх + ^

Продольные

0

1

 

 

 

 

 

Ы'ёх

 

 

Г

 

 

3

Её

 

 

0

 

 

1

 

 

 

|

/ X2 Лх + 2 / ,.х?

Крутильные

0

1

 

 

 

 

 

Г л,1йх

 

 

5

а1<>

 

1

 

 

 

|

тХ2 Лх + ^

Изгнбныс

0

1

 

 

 

 

 

м* ёх

 

 

Г

 

 

ё

Её

 

 

0

 

310 Свободные и вынужденные колебания стержней

Перед вычислением собственной частоты, например изгибных коле­ баний, нужно задаться формой колебаний X (*) и, приняв за нагрузку я произведение

Я(*) = т Сх) X (х),

определить изгибающий момент М (х) из дифференциального уравн ЛГ = </(*).

После этого найденное выражение подставляют в формулу Граммеля, которая дает более точные результаты, чем формула Рэлея [при том же выборе функции X (*)).

Пример 8. Определить собственную частоту колебаннЛ консоли (рис. 6) по формуле Граммеля. Полагая

* м - М г + ж )

[что соответствует выражению (51) в решении по формуле Рэлея], принимаем за нагрузку выражение

,’= т ( 1- ^ г + - ^ - )

Двухкратным интегрировагронинем находим изгибающийн< момент

-

/ х*

2л:3

.

хв

\

 

 

 

М=

 

9/

+

90/* )

 

 

 

1~ т [ 2

 

 

 

и далее определяем

 

I

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

Г тхг</*= 0,2568/л/;

[ М*?Х’ =0,02077

Еа

 

 

 

•

I

 

 

 

 

 

 

Теперь по формуле для изгибных колебаний в табл.

13 находим

 

 

.

12.36ЕУ

 

 

 

 

 

 

Р

т1*

 

 

 

 

 

 

р =

3,51 - ]

/

"

(

5

3

)

Р

I1

V

т

 

 

 

 

 

Вариантом записи формулы Граммеля является формула Гогенем* зер-Прагера (табл. 14).

14. Формулы Гогенемзер-Прагера для определения квадрата собственной частоты

Вид колебаний

 

Формула

 

 

1

 

1

 

Продольн

Г <лпг ах

С

^ ах

 

0

т

‘ ^

ЕЕ

 

0

 

0

 

Крутильные

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

1

(м“)г ах

1

 

Поперечные

Г

Г

м*ах

0 т 0

Свободные колебания (приближенные исследования)

311

Формула Донкерлн

В отличие от ранее приведенных формул, формула Донкерлн дает всегда заниженные значения основной собственной частоты колебаний. Согласно этой формуле при продольных и изгибных колебаниях

 

‘

I

 

Р-

1 : |

т (х) 5 (х, х) Ах -(- 2 т& (х/, х,) ,

(54)

 

.о

 

 

где б (х, х) -—функция влияния, т. е. перемещение сечения с абсцис­ сой х под действием единичной статической силы, приложенной в том же сечении. При крутильных колебаниях

' /

Р*= 1 : | / (X) Ь (X, X) Ах + 2

{XI, х{)

(55)

о

 

 

причем 6 (х, х) — угол поворота сечения с абсциссой, определяемой от статического действия единичного крутящего момента, приложенного в том же сечении.

Способ последовательных приближений для определения первой собственной частоты колебаний

Согласно этому способу первую собственную частоту изгибных ко­ лебаний определяют в следующем порядке:

а) задаются формой колебаний Х ^ (х ), верхний индекс обозначает

номер приближения.

Функция

Х(0) должна удовлетворять

условиям

закрепления концов

стержня;

 

по формуле

 

б) определяют силы инерции

 

 

$<0>(*) =

ш

(*)Х (0)[/>(0)]2-

(56):

Значение р^ принимают произвольно, но чем ближе принятое зна­

чение р к истинному, тем быстрее будут завершены указанные далее операции;

в) способами теории сопротивления материалов (чаще всего путем численного интегрирования или графо-аналитически) находят пере­

мещения X*1*(х), вызываемые нагрузками (56); функция X*11 (х) яв­ ляется улучшенным приближением к истинной форме колебаний;

г) вычисляют первое приближение для квадрата собственной ча­ стоты по формуле

[рО>]* = _ « ------------------------------

;

(57)

(* т (*) [Х(1) (х)]2 Ах

 

о

 

 

д) найденную форму колебаний Х (1) (х)

принимают за

исходную

и повторяют выкладки, указанные в пп. а—г;.таким способом получают собственные форму и частоту во втором приближении.

312 Свободные и вынужденные колебания стержней

Вычисления продолжают до тех пор, пока два последовательных значения собственной частоты колебаний не окажутся достаточно близ­ кими одно к другому.

Независимо от исходного предположения о форме X ^ (х), процесс сходится к низи1ей собственной частоте.

Способ последовательных приближений для определения второй собственной частоты

Для определения второй собственной частоты колебаний предва­ рительно необходимо найти (с возможно большей точностью) первую собственную форму Х г (х), после этого:

а) задаются подходящей второй собственной формой

б) определяют

параметр

I

 

 

I

 

 

 

о

(58)

 

и

 

в) образуют функцию

х<0) -\-аХ19

 

 

Х<0) =

(59)

которая оказывается ортогональной первой собственной форме.

выше

Дальнейшие

выкладки не

отличаются от приведенных

и в результате получается функция первого приближения Х*1^; из-за

неточностей вычислений эта функция может оказаться не вполне ортотональной к первой собственной форме Хх (х); поэтому, прежде чем переходить к построению второго приближения, вновь добиваются орто­ гональности, положив подобно выражению (59)

Л а > = Х у ) + а |Х1,

(60)

где аналогично формуле (59)

(61)

и т. д. В более общем виде метод последовательных приближений используют при применении интегральных уравнений [3] (см. также [1 ] в литературе к гл. 1).

Метод Ритца

Этот метод позволяет приближенно найти одновременно несколько

низших частот (см. [2]

в литературе к гл. 4).

., Х п (х),

Для этого задаются

системой функций Хх (.х), Х 2 (х),

удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, и вычисляют величины (для случая изгибных колебаний)

I

Т& — ^ тХ(Хь дх\

в

(62)

 

I

о

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009