Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

304Свободные и вынужденные колебания стержней

Вформулах (40) и (41) — низшая собственная частота колебаний консольного стержня без продольной нагрузки.

Внекоторых случаях продольная сила возникает вследствие изгиба стержня и носит характер реакции. Это явление нелинейно по своему существу, и собственная частота зависит от амплитуды колебаний. Для стержня с шарнирно неподвижными опорами на концах к-ю собственную частоту колебаний находят по формуле

Рк=РкК>

(42)

где х — поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний а к радиусу инерции поперечного сечения р; значения х даны в табл. 10.

 

10. Знячсмил коэффициента х в формуле (42)

 

а

X

а

 

а

 

Р

~Р

 

Р

 

 

 

 

0

1

0,8

1,058

3

1,626

0,2

1,0008

1

1,089

4

1,976

1,0038

1,5

1,190

5

2,35

0,4

1,015

2

1,316

10

4,75

0,6

1,038

 

 

 

 

При

р -> 0 формула

(42) дает

неопределенное

значение

для р*,

так как р = 0 и х = со. После раскрытия неопределенности получается выражение для собственной частоты колебаний струны, начальное

натяжение которой равно

нулю:

____

=

4,17-^-

(43)

(если начальное натяжение велико по сравнению с его изменениями при колебаниях, следует пользоваться схемой 3 табл. 2).

Влияние сдвигов и инерции вращения. Это влияние особенно за­ метно при колебаниях стержней небольшой длины. Для шарнирно опертого стержня собственные частоты определяются формулой

 

___

(44)

где р1 =

1 / " -----низшая собственная

частота, вычисленная

без учета сдвигов и инерции вращения; К = —----- гибкость стержня;

Р — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения (для прямоугольной формы сечения (3 = 1,2),

к — число полуволн, которые образует ось стержня при колебаниях.

 

 

Свободные колебания (приближенные

исследования)

305

Формула (44) определяет два зна­

1]. Собственные частоты

чения собственной

частоты,

отве­

ллп шарнирно опертого стержн

чающих данному числу к полуволн.

(при

— = 2,6 н 3 =

1,2)

Низшее значение

соответствует та­

 

 

 

кой форме колебании, при которой

 

 

 

поперечные

сечения

поворачива­

 

рнизш

раысш

ются в ту же сторону, что и каса­

 

тельные

к

изогнутой

оси;

второе

 

Р1

Р1

значение

соответствует

 

противопо­

 

 

 

ложным

направлениям

к

поворота

1

0,98

70,0

сечений

и

касательных

изогну­

той

оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3,74

73,6

 

 

частоты,

получен­

3

7,92

78,2

Собственные

4

13,0В

84,0

ные

по

формуле

(44),

приведены

5

18,77

91,6

в табл.

11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ ИССЛЕДОВАНИЯ)

Приближенные способы применяют при анализе колебаний стержней с переменной жесткостью и массой.

Способ замены распределенных параметров сосредоточенными

Этот способ допускает два варианта. Согласно первому варианту рас­ пределенную массу (рис. 5, а) заменяют несколькими сосредоточенными (рис. 5, б). Второй вариант предполагает замену стержня упругой шарнирной цепью (рис. 5, в), каждое звено которой совер­ шенно недеформируемо, а приписываемые шарнирам коэффициенты упругости вы­ бирают из условий достаточ­ ной близости общих жестко­ стей заменяемой и заменяю­ щей систем.

В обоих вариантах задача сводится к рассмотрению си­ стемы с конечным числом сте­

пеней свободы и, следовательно, позволяет найти лишь несколько (например, 5) низших частот. Для этого необходимо заменить заданное распределение масс (жесткостей) достаточно большим (во всяком слу­ чае, не меньшим, чем 5) числом сосредоточенных масс (упругих шарни­ ров). Однако и в этом случае результат может сильно зависеть от выбора мест сосредоточения параметров.

Формула Рэлея

Формула Рэлея основана на энергетическом соотношении (9), гл. 4

и в зависимости от типа колебаний приобретает одну из форм, указанных

втабл. 11, гл. 4; при этом выбирают (с точностью до постоянного мно­ жителя) функцию, описывающую форму перемещений стержня. Наряду с этим существуют иные варианты записи, приведенные в табл. 12.

306

С вободн ы е и вы нуж ден н ы е к о л е б а н и я ст ер ж н ей

Вл1| -риант

1

12. Выражения квадрата собственной частоты

Продольные

Крутильные колебания

Поперечные колебания

колебания

1

1

1

| Е Р ( Х ') 3ёх

 

| Её (X")3 ёх

0

 

0

1

| IX2 ёх

| тХ2 ёх + '%т(Х2

| тХ2 ёх + 2 т 1

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

|

ёх

 

 

1 * 1 *

 

 

| Мг ёх

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

| тХ2ё х - ^ ^ т . х ]

|

IX 2 ёх +

2 ^ * ]

тХ2 ёх + 2

т1 х2(

 

|

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

| <7(*) х

 

 

| р. (х) X ёх

 

^ <7(х) X ёх

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тХ2 ёх + ^ т 1Х2

 

|

тХ2 йх + 2 " * ^ /

|

/Х2 ^

+

2

 

|

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1 ,

(х) х

ах + 2

Р,Х(

^ ц (*) X ёх +

2

|« ( * ) х а х + ^ Р 4х (

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

^ тХ2 ёх + 2

т1 * \

| ' * 2 -

+

 

М

^ тХ2 ё х + ^ т ^ 2;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

^ т Х ё х + ^ т ^ !

 

 

 

 

 

|

тХ ёх + 2

т1Х1

5

& 1

 

 

 

 

 

 

Г

0

 

 

 

 

 

 

 

 

е

1

т{ А

 

|

тХ2 ёх + ^ т ^ 2

 

 

 

 

 

|

тХ2 ёх + 2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О б о з н а ч е н и я :

 

т (х) — интенсивность

распределенпой

 

массы; т1— сосредоточенные массы:

1 (д:) — момент инерции единицы

 

длины стержня отпоснтельно его

оси;

/^ — моменты инерции дисков.

Свободные колебания (приближенные исследования)

307

Вариант 1 предполагает определенный предварительный выбор функции X (х), описывающей перемещения стержня при колебаниях.

Вариант 2 не отличается от варианта 1, если задаваться функциями

X (х), а внутренние усилия определять по формулам

 

Ы = ЕРХ'\ МК= (МРХ'\ М = Е1Х\

(45)

Однако можно задаваться распределением внутренних усилий N (х), Мк (х) или М (х) и путем интегрирования соотношений (45) определять соответствующие функции X (х).

В варианте 3 сначала задаются, некоторой нагрузкой ц (х) [или моментнон нагрузкой р (х) в случае крутильных колебаний] и затем определяют вызываемые этой нагрузкой перемещения X (х).

Вариант 4 близок к варианту 3, но относится к случаю, когда зада­ ваемая нагрузка содержит также сосредоточенные силы Я/ или сосре­ доточенные крутящие моменты р/. Наибольшей определенностью об­ ладает вариант 5; здесь в качестве нагрузки <7(х) [или р (х)] принимают фактические веса единицы длины цт (х).

Применение вариантов 1—4 может привести к точным результатам (в вариантах 1 и 2 — если принимаемые функции точно совпадают с истинной собственной формой колебаний, в вариантах 3 и 4 — если принимаемые нагрузки пропорциональны истинным силам инерции, развивающимся при главных колебаниях). В остальных случаях, а также при пользовании вариантом 5 результаты вычисления собствен­ ной частоты получаются завышенными.

Пример 7. Определить основную частоту изгибных колебаний (рис. 6).

Рис. 6 Сначала воспользуемся вариантом 1 и примем

(46)

Теперь находим

I

I

0 0

н согласно варианту I табл. 12 определяем

2 _ 4/Г-/ . _т/__^0Е7_

р ~ I* ‘ 5

т1*

(47)

что заметно отличается от точного результата

(48)

308 Свободные и вынужденные колебания стержней

Причину столь большого расхождения следует видеть в недостаточно

удачном выборе функции X (х).

По варианту 2 зададимся не формой изгиба, а выражением изгибающего момента. Примем

-(-Я *

нинтегрируя 2 раза соотношение

Е^Xп

I

-------- - 5- (1 — - Г-)3 + с '

Е./Х 4 ( 1- * ) Ч * + в .

Из условий на правом конце

X (I) = 0; X' (/) = 0

С = 0; 0 = 0,

Теперь по варианту 2 т

:одим

 

 

 

108ЕУ

" И т й

г М

Ч Т *

(49)

Гораздо лучшие результаты получаются по варианту 4, если принять в качестве функции X (х) кривую изгиба, вызываемого сосредоточенной си­

лой Р на конце стержня (рис. 7, а).

 

 

 

При этом

,

Р1% ( х*

3*

, _\

V,

Л м

”

• щ ' (т*—

г

+ 2)

 

 

Р1‘

 

 

 

 

 

гЕ^

 

 

140Е^

Следующее отсюда значение собственной частоты

 

 

3,63

1 / "

е7

(60)

 

р

“ Т1"-

V

т

 

 

чается от точного значения

(48).
Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009