Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Свободные колебания (приближенные исследования)

313

Собственные частоты определяют из уравнения частот

Т'пР2— ^11» АгР2 — ^12*

Т\пр- — Цщ

7*21Р3— Сц, Т22Р2

^ 22» • • •! Т'гпР2 — ^ 2Л

Т щ р 2

С П \ 1 Т П й Р 2

^ Л 2 >

Т п п Р “ — V п п

Некоторыми преимуществами обладает другая форма уравнения

частот

ТХ2-р*У 1г, . . . , Т т -р*У 1П

Т п - р П 'и .

Т21

Р“У21> 7*22

Р^У ...Т’гя— Р2^2«

(64)

' = 0 ,

7/11

Р2Ущ1

Тпъ

Р~УП2 . •

• * , Тпп

р2Уп

где

I I

^1к= 1 1 6 (*’ ^ ^ ^

^ м

х?с ^ ах

(65)

В случаях изгибных и продольных колебаний величины У,ь можно

определить также соответственно по

формулам

I

I

(66)

I

К 1к = $ ^ х : у

Хк <1х

(67)

О

(для случая изгибных колебаний).

После этого получается уравнение частот в виде

тпр* - ^11.

тпр* -

и?12...... т1Пр - - \ У 1П

Т п р г —

Т'ггР3 — №22»

7\п Р 2— ^ ч п

(68)

0.

Т щ Р 2 -

Т п2р 2 -

1УП„

Тппр* - \Рпп

I

ф [к = - § ( Е Г Х ‘() ‘Хк <1х,

(69)

а в случае крутильных колебаний

/

*1Ь = - $ ( Ы р < У Хк**.

(70)

I

, „2

„

2

(71)

V Вг

1

В1 + У ж 2 — В\

где

I

Вх = Г т (х) 6 (*,

х ) д х + ^ гщЬ (х{, л**);

о

‘

(72)

I I

Во = Г Г т {х) т (5) б (х,

5) йх

(**> *к)-

о о

1

к

Вторая формула С. А. Бернштейна

2

9

(73)

Р\> -

д2и

_1_ дЧ

_

Р{х)

(74)

дх* +

а/а

”

51П СО/,

е р

Решением дифференциального уравнения в

частных производ­

ных (74) служит выражение

и — V (х) зш ш/,

(75)

Вынужденные колебания

315

Vе Н- -

-{/ =

—

Р[х)

(76)

ЕР

в виде

и = Л 31П ~ + В

с

ю

|

Р (х) 51П ^ ~ ^ <11

(77)

I)

Р =

Р0 8Ш 0(.

(78)

Поскольку распределенная возмущающая нагрузка отсутствует, по фор­

муле (77) находим

А 51П —а— X +

В С05

и =

а

X .

Из граничных

условий

и'

С/(0)=0;

(О =

получаем

В = 0.

ы Е р

СО5 -

роД

Ц)Ер СОЛ -

Амплитуда колебаний

конца стержня

и (0 =

роД

(79)

ыЕР

Следовательно,

динамический

коэффициент

будет

** ”

РЛ

а .

ы1

Ц (/): ЕР ~

6

а

При -5^- = —р-, -5р-, -рр-

наступает

резонанс,

а

при

= я,

2я,

Зя,

_ антирезонанс (точка приложения внешней

силы

остается

непо­

движной).

316

Свободные и вынужденные колебания стержней

П ример

10.

О п редел и ть

ам плитуды

крутил ьны х

к о л еб а н и й св о б о д н о го

вала,

левы й

кон ец к отор ого

соверш ает

за д а н н о е к ол ебан и е

Фо

=

А 0 з!п

со/

(80)

(случай

гарм он и ч еск ого

ки нем атического

в о зб у ж д е н и я ). В

д а н н о м сл уч ае

р а с п р е д е л е н н а я

возм ущ аю щ ая

н агр узк а отсутствует и п оэтом у

п о ф о р м у л е

(77)

имеем

О =

А 51п

- +

В С05 -

Граничны е

услови я

(0) =

V (/) = О

позвол яю т

найти

V

А

0;

а = л 0 (к — ; В = А Ь.

С ледовательно,

,

ом:

,

сох 1

V = л й р е —

51" —

+ соз — |

В

частности, ам плитуда

к ол ебани й

своб о д н о го конца

и

<0 =

(81)

всегда

бол ьш е

ам плитуды задан н ы х

кол ебани й

л ев ого

к он ца

вал а .

Р езон

н аступ ает

при

со/

_

------ = л ,

2л,

а

Изгибные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных

изгибных

колебании

стержня постоянного сечения

д*о

,

т

д2о _

<7(х)зтсо*

/0О1

дх

ш^тЕ ^ а д12

~

ЕЗ

’

{ ]

где

у (х) 51П

— интенсивность

распределенной

возмущающей

на­

грузки.

После зам

V (х, () — У (X)

(83)

51П

(О*

уравнение

(82) принимает вид

IV

..

Я(*)

(84)

У

Е^

У ~

Е^

При

сосредоточенных

возмущениях

дифференциальное

уравне­

у =

С25 (ах) + С2Т (ах) + С*Ы (ах) +

С4У (а х ),

(85)

где

СА— С4 — постоянные,

определяемые

граничными

условиями;

5,

Т, I/, V — функции

А. Н. Крылова (см. табл. 4).

П ример

11.

О предели ть

п р огиб

св обод н ого

конца

к он сол ьн ой бал к и

при

действии на

н его возм ущ аю щ ей

силы

Р 0 з1п со/.

Граничны е

усл ов и я (н ач ал о

к оор ди н ат на левом

св о б о д н о м

к он ц е)

У'(0)= 0;

у"(0)= —

У V) =

0;

у ' (/) =

0.

Вынужденные колебания

317

Условия на конце

х = 0 дают

С3а* = С

“ 1 1 7 '

'■ с *а> =

С, =

0;

С<“

а>Е, '

С учетом этого, условия на

конце х =

I приводят к соотношениям

С»5 (а/) +

С,Г (а/) -

V (а/) =

0;

ас у

(со +

аС,5 «Ю ---- -

6/ (а/) = 0.

Отсюда находим

V (а.1) Т (а1) - V (а/) 5 (а?)

С —

Л,

а^Е^

Т (а1) V (во —5* (ап

С, =

Ро

V- (а/) — (/ (а/) 5 (аО

а*Е^

Т (а') V (аО — 5* (а.1)

*

Следовательно,

и

(а.1) Т (о1) — V (а/) 5 (аО

(/(0) =

Ро

а*Е^

Т (Ш) V (аО — $2 (а/)

( 1

\

Р0

1

а /

..

а /

\

( .

Л

- г )

~

4аЭЕ^ 1(*6 Т

(87)

~~

Р0 / ,

О? . . .

а /

\

м

\ т

)

4 а

V е ТГ

« < * , 1) =

2 5 * (0 * * ( * ) ,

(88)

к=1

где X * (х) — к-я собственная

форма колебаний,

а функции времени

(?) определяют из уравнений типа

я * +

р & = т л о .

(89)