Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Глава 6

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Понятие о параметрических колебаниях. Колебания называют параметрическими, если они описываются дифференциальными уравне­ ниями с переменными (обычно периодическими) коэффициентами. В от­ личие от вынужденных колебаний параметрические колебания под­ держиваются внешними силами косвенно — через изменение параметров системы. Простейшим примером параметрических колебаний в механике

Рис. 1

являются колебания маятника, возбуждаемые периодическим перемеще­ нием точки подвеса в направлении силы тяжести.

Параметрические колебания упругих систем, связанные с задачами упругой устойчивости. Задачей этого типа является, например, задача о колебаниях прямолинейного стержня, на который действует периоди­ ческая продольная сила (рис. 1, а). Если амплитуда этой силы доста­ точно мала, то следует ожидать, что стержень будет испытывать только продольные колебания. Однако оказывается, что при определенных соотношениях между частотой свободных нзгибных колебаний © и частотой вынужденных колебаний 0 прямолинейная форма равновесия оказывается неустойчивой. Возникают иэгибные колебания, амплитуда которых может быстро возрасти до больших значений. Соотношение частот, при котором наступает этот параметрический резонанс, отли­ чается от соотношения частот при резонансе вынужденных колебаний. Если амплитуда продольной силы достаточно мала, то это соотношение имеет вид 0 2оэ.

348 Параметрические колебания упругих сидтем

Можно привести много примеров этого типа. Так, круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной радиальной нагрузкой, периодически меняющейся во времени (рис. 1, б), при определенном соотношении частот может испытывать интенсивные изгибные ко­ лебания. Периодические силы, действующие в срединной плоскости пластинки (рис. 1, в), при определенных условиях могут вызвать интен­ сивные поперечные колебания. Периодические силы, действующие на балку узкого поперечного сечения в плоскости ее наибольшей жест­ кости (рис. 1, г), при определенных условиях могут вызвать нзгибнокрутильные колебания из этой плоскости.

Перечисленные задачи рассматриваются в теории динамической устойчивости упругих систем [7, 241. Для всех этих задач общим

является то, что причиной колебаний является периодическое изме­ нение внешних сил такого вида, что, будучи приложены статически, они могут вызвать статическую потерю устойчивости равновесия упру­ гой системы. Такие силы будем называть параметрическими. Периоди­ ческое изменение параметрических сил вызывает периодическое изме­ нение жесткости системы по отношению к другим силам.

Некоторые другие классы параметрических колебаний упругих си­ стем. Параметрические колебания встречаются также при изучении динамики валов, роторов и более сложных механизмов [7]. Так, вал, сечение которого имеет неодинаковые главные жесткости, может испы­ тывать интенсивные поперечные колебания даже в том случае, если он полностью уравновешен и если его ось параллельна ускорению сил тяжести (рис. 2, а). Непосредственной причиной возбуждения коле­ баний в этом случае является периодическое изменение жесткости во сремени. Эти колебания можно трактовать н как параметрически возбуждаемые колебания, и как автоколебания. В неподвижной системе координат поведение вала описывается, как в других параметрических задачах, дифференциальными уравнениями с периодическими коэффи­ циентами. Если использовать систему координат, вращающуюся вместе с валом, то получим дифференциальные уравнения с постоянными коэф­ фициентами. Более четким в классификационном отношении примером может служить вал, совершающий поперечные колебания лишь в одной плоскости (рис. 2, б). Примером системы, в которой периодически меняется некоторая приведенная масса, может служить шатунно-кри­ вошипный механизм (рис. 2, в). Жесткость периодически меняется в ме­ ханизме спарниковой передачи в локомотивах (рис. 2, г). Подробнее см. работы [1, 7, 8, 22].

В этой главе мы ограничимся рассмотрением колебаний упругих систем, возбуждаемых параметрическими силами, которые меняются во времени по периодическому закону. Однако, используя математи­ ческую аналогию, можно многие результаты распространить и на другие задачи параметрических колебании.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ (ОСОБЫЙ &1УЧАЙ)

Дифференциальное уравнение параметрически^ колебаний упругого стержня, опертого по концам и сжатого силой Р (*) (рис. 3). Пренебре­ гая продольными колебаниями, найдем, что в линейном приближений нзгнбиые колебания описываются уравнением

то получим следующее уравнение относительно тангенциального пере­