Дифференциальные уравнения |
(общий случай) |
351 |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ |
|
|
КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ |
(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) |
|
Приведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим общее уравнение параметрических колебаний упругой системы, движение которой описывается скаляром или вектором —
функцией и (*!, х2, х3, |
/) координат х1г х2, х3 и |
времени /: |
|
|||||
|
М а ] + Ф ( < ) М 1«] + |
ЛГ [ - ^ - ] |
= |
0; |
(10) |
|||
здесь |
М и N — некоторые линейные операторы; Ф (/) — некоторая |
|||||||
функция времени. Решение |
уравнения (10) ищем |
в форме |
|
|||||
|
Ч(-VI, |
*з, |
0 |
= 2 /* (0 Ф* (*1» *а. *з). |
(П) |
|||
|
|
|
|
к= 1 |
|
|
|
|
где |
(хх, хг, х3) — формы свободных колебаний |
незагруженной |
си |
|||||
стемы, |
удовлетворяющие уравнению |
|
|
|
|
|||
|
|
1 Ы |
— |
[ч>а] = ° |
|
|
|
|
и условию нормировки
(#[флЬ фа) = 1;
здесь (ф, ф) — знак скалярного произведения в пространстве допусти мых функций. Например, в случае стержня длиной I
I
(ф, ф) = | ф (х) ф (х) йх.
о
Подставляя ряд (11) в уравнение (10) и применяя вариационный метод Галеркина, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
Ф |
+ •? |
- ф |
= 0 |
(/ = 1. 2, . . . ) . |
(12) |
Коэффициенты а\ь определяют при этом по формуле |
|
||||
|
|
а,к = -------V - Ш (Ф*1, |
<р/). |
(13) |
|
|
|
|
« / |
|
|
Система уравнений (12) была впервые получена В. Н. Челомеем [18]. Некоторые другие способы вывода уравнений типа (12) рассмотрены в статье [5] и книге 17].
352 |
Параметрические колебания упругих систем |
||
Матричная форма записи уравнений. Пусть число членов ряда (11) |
|||
ограничено и равно V. Вводя матрицу-столбец / |
и матрицы С и Л |
||
|
1 |
0 |
0 |
|
о |
||
|
©I |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
||
|
с = |
®2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
< |
||
|
|
|
|
|
~(*п |
а1\ |
|
|
аы |
Ноу |
|
|
ах1 ( |
а\'\» _ |
|
запишем систему (12) в .матричной форме |
|
|
С |
+ [Е — Ф (() А ] / = 0, |
(14) |
где Е — единичная матрица.
В несколько более общем случае, когда на систему действует постоян ная параметрическая нагрузка с параметром а и переменная параметри
ческая нагрузка |
с параметром р, исходное |
уравнение |
записывается |
|
в виде |
|
|
|
|
I. [и] + |
аМ0 \и] + РФ (О М, [а] + |
N |
= |
0. |
Выпишем эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
ж |
+ *>; |
« 2 |
<Чк(к — I |
'(О Ц |
= 0; |
(15) |
сИ2 |
||||||
здесь обозначено |
к=1 |
к~\ |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
а 1'к = |
------ Ц -(М 0 [Фа 1. |
ф/); Ь /к = |
------ К - ( М 1 [ф/г], |
ф/). |
|
|
|
® / |
|
|
® / |
|
|
Запишем уравнение (15) в матричной форме: |
|
|
||||
|
С ^ - |
+ [ Е - а А - Р Ф |
(/) В } / — 0; |
|
(16) |
|
здесь В — квадратная матрица с элементами Ь;/4. |
|
|
||||
Примеры уравнений параметрических колебаний |
353 |
Приближенные уравнения параметрических колебаний упругих си стем. Если диагональные элементы матриц А и В достаточно велики по сравнению с недиагональными элементами, то в первом приближении систему (15) можно заменить последовательностью независимых урав нений
^ |
+ |
Ш| [ 1 - а а м - р Ф « ) ^ ] 4 = |
0(А = 1 |
2, .)• (17) |
Элементы |
акк и Ььи легко выражаются |
через |
приближенные |
|
(в смысле энергетического метода) значения критических параметров а*
и(3*. А именно:
Ш= ----- 1- (Л4„ 1фа1. Фа) <=*— ; Ькк = ---- [Т (М[ [фЛ], Фа) * -тг •
соу. ак казт Р
Учитывая эти соотношения, приведем уравнения (17) к виду (7, 18)
<*Чь |
^ - Ф ( 0 ] /* = 0 (* = 1. 2 ... )• |
(18) |
|
(И1 |
|||
|
|
Эти уравнения по существу совпадают с уравнениями особого слу чая (6). Если недиагональные элементы матриц А и В не малы по сравнению с главными, то приближенными уравнениями (18) следует пользоваться с осторожностью.
ПРИМЕРЫ ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Уравнение параметрических колебаний круглой пластинки, защем ленной по контуру и сжимаемой в срединной плоскости периодическими силами. Уравнение изгибных колебаний для этой задачи (рис. 5) имеет вид
ОД Дго 7 (0 Дну -|- /л |
= 0; |
(19) |
здесь ш (г, ф, I) — прогиб пластинки; О — цилиндрическая жесткость; ш — масса, отне сенная к единице площади срединной поверх ности; ц (0 —интенсивность нагрузки. Реше ние уравнения (19) должно удовлетворять граничным условиям
дю |
- |
при г = |
_ |
ьу= |
= 0 |
К. |
Следуя общей методике, ищем приближенное решение в виде форм колебаний (г, <р), умноженных на некоторые функции времени !к (/). Формы колебаний даются выражениями
фш/1 {г, ф) = [/л (И/клЯ) Лг (к т я г) — 1 п |
(НтпХ) I («шдГ)] СОЗ Пф |
(/1 = 0, 1, 2, |
.), |
354 |
Параметрические колебания упругих систем |
где *тп — корни уравнения
/„ « т у / ; <хл)| = 0
Частоты собственных колебаний незагруженной пластины находятся по формуле
Применяя вариационный метод Галеркина, сведем приближенно уравнение (19) к последовательности обыкновенных дифференциальных
уравнений типа |
(18): |
|
|
|
|
, |
„а |
Г. |
<?«)1 , |
„/*■ =■ !. 2, ... N. |
|
- 3 ^ — + |
|
|
— д ^ \ 1 * п - ° ( я = 0, 1. 2, |
||
здесь Цып — приближенные значения |
критических параметров, опре |
||||
деляемые по формуле |
Як. 2яж |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
Т ) ''* |
|
|
|
|
|
|
|
Ятп = — К 2п Я |
|
|
|||
|
| |
| |
Д ф т л ( г , |
ф) ф пт (г. 4)4йг А< |
|
Эта задача была рассмотрена |
в статье [3]. |
||||
Уравнения параметрических колебаний изгибаемой полосы. Приве дем пример задачи, которую даже в первом приближении нельзя свести
Рис б
к уравнениям типа (18). Пусть полоса узкого прямоугольного сечения шарнирно оперта по концам и нагружена моментами М (/), действу ющими в плоскости наибольшей жесткости (рис. 6). Рассмотрим изгибнокрутильные колебания, происходящие из плоскости наибольшей жесткости. Поперечный прогиб и (г, 0 и угол поворота <р (г, I) должны удовлетворять уравнениям
а |
д*и I лл |
д2Ф , |
д2и |