|
Области неустойчивости уравнения Матье-Хилла |
355 |
где |
у — жесткость при изгибе из плоскости наибольшей жесткости; |
|
СУ* — жесткость при кручении; т — масса, отнесенная к |
единице |
|
длины; р — полярным радиус инерции сечения. Решение уравнений (20)
должно удовлетворять граничным условиям |
|
|
д2и |
. |
. |
“ = ф = 1 г5" = а ^ = 0 п р и г = |
0 и г = |
/- |
Будем искать решение в виде |
|
|
и (г, 0 = <М0 51п
(21)
Ф(г, 0 = Ф«(0 8^ -521 (л = 1, 2, . . .),
где Оп (/) и Фл (0 — искомые функции времени.
Подставляя выражение (21) в уравнение (20), получим для каждого п систему двух дифференциальных уравнений относительно 1/п (0 и Фл (0- Запишем эту систему в матричной форме, аналогичной выраже нию (16):
С ^ + |
1 Е - М ( 1 ) А ) / = 0. |
(22) |
При этом использованы |
обозиач |
|
где |
соПу |
и солф — парциальные частоты изгибных и крутильных соб |
ственных |
колебаний соответственно. Эта задача была рассмотрена |
|
в книге |
[7]. |
|
мы |
Заметим, что диагональные элементы матрицы А равны нулю. Здесь |
|
имеем случай, в некотором смысле противоположный особому |
||
случаю, который был рассмотрен в § 2. В особом случае формы свобод ных колебаний и формы статической потери устойчивости совпадают, в данной задаче эти формы ортогональны между собой.
ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ-ХИЛЛА
Уравнение Матье-Хилла. Рассмотрим одно из дифференциальных уравнений (18), опуская при этом индекс к. Введя обозначения
Й = “ |
и = 2 (0^ |
07) ' |
<24> |
где а0 — критическое |
значение параметра а, |
перепишем |
уравнение |
в виде |
|
|
|
■^• + Я Ч 1-2(1Ф (О 1/ = |
0. |
(25) |
|
356 |
Параметрические колебания упругих систем |
|
Если функция Ф (0 является периодической, т. е. если |
|
ф(<+ ‘^ ) = ф(*)- |
то дифференциальное уравнение (25) называют уравнением Хилла. Частный случай уравнения Хилла при Ф = созО/ называют уравне
нием Матъе [15, 17].
Области |
неустойчивости уравне |
ния Матье. |
Рассмотрим подробнее |
уравнение Матье |
|
+ |
2цСО5в0/ = 0. (26) |
В зависимости от соотношения между параметрами й, 0 и р его ре шения могут быть либо ограничен ными во времени (периодическими или квазипериодическими), либо не ограниченно возрастающими во вре мени. Области в пространстве пара метров, при которых уравнение Матье имеет неограниченно возра стающее решение, называют обла стями неустойчивости. На рис. 7 представлено распределение обла стей неустойчивости для уравнения Матье, записанного в виде
• ^ + ( я - 2 9 с о з 2х) / = 0. |
(27) |
Втакой записи коэффициенты уравнения зависят от параметров а
икоторые и отложены вдоль осей координат. Области неустойчивости заштрихованы. Периодические решения на границе областей равны еел (х) и зеЛ (х) (функциям Матье порядка п). Эту диаграмму назы вают диаграммой Стретта [17].
Возвращаясь к обозначениям, использованным в уравнении (26), видим, что при малых р области неустойчивости располагаются вблизи линий, на которых
6, |
оп |
(П= 1, 2, . . . ) . |
(28) |
= ^ - |
|||
Область, которой в |
формуле |
(28) соответствует п = |
1. называют |
главной, остальные — побочные.
Определение границ областей неустойчивости при малых р. С точки зрения задач о параметрических колебаниях упругих систем наиболь ший интерес представляет полоса на плоскости параметров, которая соответствует малым значениям параметра р. Границы областей неустой чивости для этой полосы могут быть вычислены по формулам, вывод ко торых дается в книге [7]. Для границ главной области неустойчивости
6, « 20 КТТТс. |
(29) |