360 |
Параметрические колебания упругих систем |
где и (/) и (0 — решения уравнения, удовлетворяющие следующим начальным условиям:
М 0) = 1; ![ (0) = 0; /2 (0) = 0; |
(0) = 1. |
Уравнение (33) полезно, например, в случае, если функция меняется по кусочно-постоянному закону (этот частный случай уравнения Хилла называют иногда уравнением Мейсснера). Пусть
|
|
1, если |
0 < |
I |
|
|
|
|
|
|
ф ^ = |
. |
|
п |
< / |
2я |
|
|
|
|
|
— 1, если |
-д- |
- 0-. |
|
|
|||
Уравнение |
(33) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
I |
2 |
Ш?1 |
. |
Яр2 |
|
|
С08^ |
С05^ |
Р1 |
+ Р‘2 . |
= 0, |
(34) |
||||
---------- «“ - т - |
8,П“ |
Г |
|||||||
|
|
2Р1Р2 |
|
|
|
|
|
||
где обозначено |
|
Л . 2 = й V 1 ± 2ц |
|
|
|
(35) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Классификация областей неустойчивости. Рассмотрим общее урав нение (16) в матричной форме, положив для определенности, что Ф (I = сов 0/:
С - ~ + {Е — аА — Рсоз Ш В ) / = 0. |
(36) |
Можно показать, что областям неустойчивости принадлежат те точки в пространстве параметров, для которых среди корней Н урав нения [5, 7]
(*■-«•> С+ |
- 4 - ре |
АНИС |
+Е—аА |
2 |
|
- 4- № |
~\-Е—аА |
- 4- № |
2Аес |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
- рв |
НгС+Е-аА |
|
О |
= 0 (37) |
|
- 2 лес |
— — ре |
(/»*—в*) ен- |
|
|
|
|
1 |
+Е—аА |
|
|
-4/1 вС |
|
0 |
_1_ рв |
(Л*—40*) С + |
|
|
|
|
2 |
+Е-аА |
|
Области неустойчивости для систем уравнение |
361 |
найдется хотя бы один корень, обладающий положительной действи тельной частью. Исследование уравнения (37) показывает, что области неустойчивости матричного уравнения (36) располагаются вблизи частот
|
0 = ^ - (/1= 1, 2,. |
. ); |
(38) |
здесь |
— частоты собственных колебаний системы, загруженной ста |
||
тической нагрузкой с параметром а. Эти частоты определяют из урав нения
|
|
|
|
\Е — аА — Й2С | = 0. |
|
|
|
|
|
|
(39) |
|||
Кроме того, уравнение (37) позволяет |
выделить две группы |
«подо |
||||||||||||
зрительных» |
частот. Первую |
группу |
частот определяют |
по |
формуле |
|||||||||
|
|
|
д _ _ 0 / + Оа |
(/1 = |
1, 2,. |
!ф к), |
|
|
|
|
(40) |
|||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вторую группу частот |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
0 / — |
(п= 1, 2 . |
|
|
|
|
|
|
(41) |
||
|
|
|
— |
п |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из |
более |
строгого |
анализа |
выражений |
[14, |
20, |
21] |
следует, |
что |
|||||
в случае гамильтоновых систем * области неустойчивости |
|
образуются |
||||||||||||
лишь вблизи |
частот, определяемых |
по формуле (40). Если |
система |
|||||||||||
является негамильтоновой, то возможны области |
неустойчивости, |
|||||||||||||
располагающиеся вблизи второй группы частот. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Области |
неустойчивости, лежащие вблизи частот, соответствующих |
||||||||||||
формуле (38), называют основными областями |
[5]; |
остальные |
обла |
|||||||||||
сти — комбинационные. Последнее название подчеркивает |
тот |
факт, |
||||||||||||
что колебания внутри этих областей осуществляются главным |
образом |
|||||||||||||
за счет взаимодействия какой-либо пары форм |
колебаний. |
Это |
непо |
|||||||||||
средственно следует из формул (40) и (41), |
в которые |
в симметричной |
||||||||||||
форме входят две собственные частоты й ; и |
Аналогично можно го |
|||||||||||||
ворить об основных и комбинационных параметрических |
|
резонансах. |
||||||||||||
|
Метод построения границ основных областей неустойчивости [7]. |
|||||||||||||
Границы |
областей, |
которым |
в формуле (38) отвечают значения |
п = |
||||||||||
= |
1, 3, |
|
определяют из |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Е - а А ± 1 р я --\-№ С |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
||||
|
|
— |
5 -1» |
г - < м — | е * с |
- |
4 -№ |
|
|
: |
=о. |
||||
|
|
|
О |
|
— |
В |
|
Е - а А - ^ & |
‘С'. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
(42) |
* Механическую систему с конечным числом степеней свободы называю! гамильтоновой, если уравнения ее движения могут быть представлены в кано нической форме Гамильтона. К нсгамильтоновым системам приходим, напри
мер, рассматривая колебания стержня, нагруженного следящими силами [8]
362 Параметрические колебания упругих систем
Определитель, стоящий в левой части, следует понимать в том смысле, что на месте каждого его элемента стоит матрица порядка п, где п — число членов ряда (11). Например, удерживая в определителе (42) одни лишь выписанные члены, получим определитель порядка 3п. Границы главной области неустойчивости (п = 1) в первом прибли жении могут быть найдены из уравнения 17]
|е — аА ± 4-РД---^-еас|=0. |
(43) |
Границы областей, которым в формуле (38) отвечают значения п — |
|
= 2, 4, . . ., находят из уравнений, аналогичных выражению |
(42). |
Эти |
уравнения неудобны для аналитических вычислений, поскольку |
их |
решение требует развертывания определителей высокого порядка |
и отыскания корней алгебраических уравнений высоких степеней. Эти операции, однако, не представляют затруднений для электронных цифровых машин.
Применение метода малого параметра. Для аналитических вычисле
ний более удобны формулы, |
основанные на методе малого параметра |
|||||||||||
[21, |
23]. |
Преобразуем |
уравнение |
(36) |
к |
главным |
осям |
матрицы |
||||
С ^ ( Е - а А ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
Р Я Л |
СЮ 0/ = 0; |
|
|
|
(44) |
||
здесь / г — преобразованный вектор / ; |
матрица С^ 1 имеет вид |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
&\ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
• _ |
|
|
|
|
|
|
|
• |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
а матрицу И вычисляют применением преобразования |
подобия к ма* |
|||||||||||
трице С_1Д. Иначе, |
И — |
|
|
|
|
|
|
(45) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где V — матрица, составленная по столбцам из собственных векторов |
||||||||||||
матрицы |
С-1 {Е — аА). |
|
1. Если |
параметр р достаточно мал, |
то |
|||||||
Ограничимся случаем п = |
||||||||||||
границы главных областей неустойчивости могут быть найдены |
по |
|||||||||||
формуле |
[28] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 .= 2 О / ± |
- |- .- |Щ , |
|
|
|
(46) |
||||
где |
Л/д— элементы матрицы |
Н. Границы |
комбинационных |
областей |
||||||||
определяют по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0, = |
П/ + |
а * ± |
А |
|
] |
/ » . |
|
|
|
(47) |
Если |
диагональные |
элементы матрицы |
Нвелики |
по |
сравнению |
|||||||
с побочными элементами, то |
ширина |
комбинационных |
областей |
не |
||||||||
устойчивости будет мала по сравнению с шириной главных |
областей. |
|||||||||||
Влияние демпфирования на области неустойчивости |
363 |
Примером, где это условие не выполнено, может служить задача об устойчивости плоской формы изгиба (см. 354—355). Пусть в уравне ниях (20) и (22) М (0 = рсоз 0/. Тогда уравнение (22) имеет вид (44), где С0 = С,
•Ч 9 1-а>1
И = С”1А =
Ык
Ширина главных областей имеет в этом случае порядок р2. Границы комбинационной области согласно формуле (47) определяют как
где Р* — критическое зи чеиие параметра для соответствующе;’ ческой задачи:
ВЛИЯНИЕ ДЕМПФИРОВАНИЯ НА ГРАНИЦЫ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Уравнения для границ областей неустойчивости. Ограничимся про стейшим случаем уравнения Матье (26) с диссипативным членом
^ 1 |
+ 2 * 4 - + П2 (1 — 2ц со5 00 = 0; |
(48) |
л 2 |
+ г а |
|
здесь е — коэффициент демпфирования. Области неустойчивости попрежнему располагаются вблизи частот, определяемых по формуле (2/). При п = 1,3, границы областей неустойчивости находят из урав нения [7]
. |
902 |
|
— ц |
0 |
- |
А |
. Л |
|
4Й2 |
|
|
|
|
я |
2Й |
— И |
, , |
02 |
Д . |
о |
|
0 |
|
|
|
я ' 2Й |
|
||||
0 |
|
_д___ о_ |
, |
02 |
|
= 0. (49) |
|
|
_ р |
||||||
|
л |
20 |
1 11 |
4ЕГ- |
|||
А |
39 |
|
0 |
- И |
|
|
902 |
я ’ |
20 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
402 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|