Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плане									389
						Продолжение табл. 9
Граничны е					П осте яни
у сл о в и я					П осте яни
у сл о в и я
□		йо —				7-4 + 4 0 + 8о ) ]
	к \ = * 1 + " У			( 1 +	5о) Л0 ; А2 = к 2 + “ 2" 0		~ 50	Я1'
		А3 = ^ 3 + [ - Г 7-4 + 4 ( 1 - 51 ) ] ^
О б о з н а ч е н и я :		К = Л",		—	=	г\ Л0 = 14—=- Я; К, =	1 +	4 -	Л;
		/1\|		в \|		о		О
		8° ~	X		81 =	X
		8° ~	х„ :		81 =	X,
Вынужденные гармонические колебания прямоугольной пластинки.
Пусть на пластинку		действует		нагрузка, изменяющаяся			по закону
		Р ( х м	/)	= </ (*ь		х2) ет .
Подстановка в дифференциальное уравнение движения (19) выраже
ния для прогиба в виде
дает		до (хь лу,	0 = № (*1, х2) еш
дает		/)ДД№ — р/гб2^				= 7.			(27)
		/)ДД№ — р/гб2^				= 7.			(27)

Нагрузку ^ и прогиб № можно представить в виде рядов по сво бодным формам колебаний, соответствующим заданным граничным условиям

Я — ^ Ят[т(х1. х2), XV - 2 ^т!т(х1, Л'о).

(28)

Подставляя выражения (28) в уравнение (27) и учитывая, что сво бодная форма колебаний / Ш) соответствующая частоте сот , удовлетво

ряет дифференциальному уравнению
ОДД/т	= 0 ,
нетрудно найти связь между коэффициентами ряда
	Ят
	РЛ(®т— е2)‘
Пусть формы колебаний	ортонормирован]ы,	ВЫПОЛНЯЮТСЯ
равенства

а х а я

У ^ //п/л ^ Х1 йх2= бтп>

390	Колебания пластинок
гДр &тп — символ	Кронеккера. Тогда
	а,	аг
	Чт =11 йхг (1х2.
	о	о
Выражение для прогиба запишется так:
	т—1	О 0

В случае опертой пластинки нормированные собственные формы

колебаний будут	2	тплХу	. лт2х2

^/Л,/Л8	-----=— 81П -----—		51П ----- — .
		,±_	а2

Для сосредоточенной силы Р в точке с координатами хх = уг, х2 =

= уа выражение	для	прогиба принимает вид
^	1	тш л . пяи-1 . птху	. пкх»
4Ре»‘ \		—	51П - 1 Г ^
°,а,Р		м'ш— 6 2

т, п

Если амплитуда нагрузки ц постоянна, то прогиб определяется фор

мулой		птх1 51П	ппх2
	§ш
т			а2	(29)
		™ (< 4 ,п - в 2)
171,	71=1, 3,

Если частота 0 возбуждающей нагрузки приближается к одной из собственных частот <йт, то амплитуда соответствующей формы коле баний неограниченно возрастает (явление резонанса). Исключением является случай дт = 0 (нагрузка ортогональна некоторой форме колебаний, работа внешней нагрузки на этой форме колебаний равна нулю). В этом случае нужна осторожность, так как малое видоизменение внешней нагрузки нарушает ортогональность. Для отыскания огра ниченного решения в резонансной области следует учесть диссипацию энергии вследствие внешнего и (или) внутреннего трения. При малом трении может оказаться необходимым применить нелинейную теорию.

КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК ДРУГИХ ФОРМ

Пластинки, имеющие в плане форму параллелограмма. Дифферен циальное уравнение колебаний пластинки в косоугольных координа

тах 1х = хг — х2 а; = $ес а	имеет вид
ОА Дш — рЛ	= 0.

Колебания пластинок других форм

391

Выражение для оператора Лапласа Д будет

Д = зес2 а / ---- 2 5Ша — ---------		.
\Э 6?	эе, ев,	а й /

При малых углах (а ^ 15-^30°) в первом приближении для формы колебаний можно положить

и>,пп=!тпГ{,п (Е,) Г ? ( У .

где р\^ — балочные функции для соответствующих краевых условий. Формула Рэлея-Ритца дает приближенное выражение для частоты

и>тп =	_а ( Р у 1 А % <		АП*
	л2 зес	1а?	+ 4‘ +
	\ Рл /
+ - 4 т [ ^ й ,Э',2) + (1 - V) С<*>С« +			2 Лп» «СЙ>С® -
а\а2			_1_

-	2 5\|по(о<!»г(2) + о \|: 2>е»>)]

Значения Ат, Вт и Ст см. в табл. 6. Значения постоянных й т и Ет для различных краевых условий приведены в табл. 10.

10. Значения постоянных Б т н Ет

Граничные	Постоянная			т
условия	Постоянная	1	2	3	4
		1	2	3	4
5—С	Б	—8,1390	—25,696	—52,130	—89.174
5—С	Е	0	0	0	0
5—Р	Б	0,1274	0,0706	0,0490	0,0374
5—Р	Е	0,9991	0,9998	1,0000	1,0004
С—С	Б	—0,79800	30,909	58,783	161,97
С—С	Е	0	0	0	0
С—Р	Б	6,8020	—44,062	121,16	6647,0
С—Р	Е	8,7112	1,9281	2,0032	1,9998

Более высокие приближения по методу Рэлея-Ритца для параметра частоты

со = а^со

392			Колебания пластинок
		11. Низшие частоты		ш,, =<оа* соа* а (	* )	#
	ромбовидной пластинки при различных граничных условиях
Граничные условия				а°
Граничные условия			0	15	30	■15
			0	15	30	■15
-			36,11	36,67	38,16	40,08
			36,11	36,67	38,16	40,08
*	а		73,74	74,76	77,48	81,06
*	а		108,85	111,43	118,19	126,81
27			31,95	32,54	34,09	36,11
			63,66	64,76	67,68	71,47
			71,43	72,40	75,04	78,46
ЁУ			27,19	27,84	29,52	31,68
			60,69	61.73	64,48	68,06
			93,13	95.74	102,59	111,15
1*#г		"/	3,494	3,360	2,971	2,412
г		У	3,494	3,360	2,971	2,412
г		У	8,547	8,278	7,643	6,88
У	о У

12. Низшая частота ш* = ша* (^-)2 трапецеидальной консольной пластины

	1			*
	I		1	*
	I		1
а°	0),	а°		со*
О	3,533	0		3,533
9	3,706	6		3,718
18	3,910	12		4,153
27	4,243	18		4,750
36	4,822	24		5,995

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009