Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг 399
В результате получается уравнение для определения функции г (^):
- 0 - + я* ( 1 + г2? г + ЗР2п4г’ |
(1 + г*) + V/-2 ] = 0 . (35а) |
Результаты вычисления периода колебаний т в зависимости от без размерной амплитуды колебаний р показаны на рис. 6, а отношение т| максимального полного ия к максимальному напряжению изгиба в зависимости от относи тельной амплитуды колебаний —на
рис. 7.
Эта задача рассмотрена Ху НанЧу и Германом [29].
Влияние начальных усилий в срединной плоскости пластинки. Пусть в плоскости пластинки действуют усилия Ии , Л/12, /У22. Тогда следует воспользоваться дифференциальными уравнениями (10) совместно с выражениями (11), (12). В декартовой системе координат уравнение колебаний будет
гла а , |
д-но |
д |
дьи . |
.. |
дна \ |
ОД Д а + рЛ |
|
= - ж - ( ^ п |
+ Н 1 2 - ^ - ) + |
||
+ |
д |
( .г дна . .. |
дна |
\ |
|
дх2 |
|
|
|
|
|
Если усилия Л^и, N22 И Иц удовлетворяют уравнениям
дЫхх |
. |
дИ12 |
0; |
М гг |
, |
п |
|
дх! |
' |
дх± |
дхх |
+ |
дхй "" ’ |
||
|
400 |
Колебания пластиной. |
|
|
||
то дифференциальное уравнение колебаний запишется так: |
|
||||
д2и) |
, д2и> , |
2Л^ |
д2т , Ж7 |
д2т |
(36) |
1)Д Ьм) рН ■ |
= Н ц — 2 ' + |
дхг дх2 |
й*2 |
||
<э/2 |
дх\ |
|
|
||
Пусть в прямоугольной пластинке, опертой по контуру (см. рис. 2), усилия N1 1 и N22 постоянны, а усилие равно нулю. Тогда свободные формы колебаний будут иметь вид
№тп ~ 1тп 5Й1 гппх1 51П плх2
Частота колебаний со в этом случае
ш = л 2 |
(37) |
( 2пЮ ) '
Из формулы (37) вытекает, что растягивающие усилия повышают частоту собственных колебаний, сжимающие — снижают.
Если хотя бы одноиз усилий # ц , М22 отрицательно и достаточно велико по абсолютной величине, то часть частот, определяемых по формуле (37), может быть равна нулю или мнимой величине. Амплитуды соответствующих колебаний будут возрастать неограниченно. Это свя зано с достижением или превышением критического значения по Эйлеру (пластинка теряет устойчивость).
^Пусть две противоположные стороны (л^ = 0, х± = аг) прямоуголь ной пластинки оперты, а на двух других заданы произвольные краевые условия.
Решение дифференциального уравнения (36) при Д^12= 0; №ц = = сопэ1; N22 = соп5{ удобно искать в виде
В» = / (-яга)81П ■ЛтХ1 .
а 1
Функция [ должна удовлетворять уравнению
^ _ ^ ( г а Ч рЧг) Г + |
= |
(38) |
|
|
Сопоставляя уравнение (38) с соответствующим уравнением при
2 л а |
|
|
|
/ = 0, |
(39) |
■ Т - и '/ Ч - т -1 т 4 - ^ |
л 4 |
||||
а\ ' |
а\ \ |
* |
|
|
|
Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг 401
можно убедиться, что уравнение (38) совпадает с дифференциальным уравнением (39), если положить
т\ = т 2 + г \ \
в! ,= ® !т л 4 [Л* + 2"'2 (г% - ?0] ( ' = - ^ ) •
Следовательно, если известна безразмерная частота со** свободных колебаний незагруженной прямоугольной пластинки с размерами а1+, причем соответствующая форма колебаний имеет т полуволн в направлении оси х х, то частота колебаний загруженной пластинки со*
может |
быть |
определена по |
|
|
и; |
|||
формуле |
|
|
|
|
|
Ы/дар |
||
|
|
|
|
\пг |
X |
---------п |
|
|
|
|
|
|
\\г=Г^ч |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
X (?1 — Л , ) |
— Л з ] |
П4, |
г =1 |
1 |
|
|||
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
Зависимость |
параметра |
|
|
|
||||
частоты |
|
|
|
|
-0,5 |
0 |
|
|
|
_ |
Д?0 |
/ |
р/г \ |
|
|
||
|
|
|
|
Ч к р |
||||
|
1 |
я3 |
\ |
I) У |
|
|
Рис. |
8 |
свободных |
колебаний |
прямоугольной пластинки, |
защемленной по |
|||||
краю хх = |
0 и опертой по всем другим сторонам, приведена на рис. 8 |
|||||||
(<71 = |
Яг ~ |
Я* т = п= 1). При произвольных граничных условиях при |
||||||
менение метода Рэлея-Рнтца |
в первом приближении (формы колебаний |
|||||||
ищутся в виде произведений |
балочных функций) приводит к формуле |
|||||||
“ = "г (т ь) 2 |
|
+ ^ Г + - ф [ |
|
сш с,„}+ |
||||
+2 + ^ ) ) 2 (40)
Входящие в формулу (40) постоянные А, В, С для различных гра ничных условий см. в табл. 6.
Влияние деформации сдвига и инерции вращения. Выше были ис пользованы уравнения и граничные условия классической теории изгиба плит, основанной на гипотезе Кирхгофа-Лява. Предпосылки этой теории оказываются несправедливыми для высокочастотных коле баний, когда длина полуволн соответствующих форм колебаний сопо ставима с толщиной пластины. Дифференциальные уравнения изгибных