Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Колебания пластинок других форм	393
для ромбовидной пластины получены Колом и Кадамбом	[32]. Резуль

таты вычислений ш* при V = 0,3 и при различных углах а, а также ре зультаты вычислений Бартона [22] для консольной пластины (V = 0,3) приведены в табл. 11.

Пластины, имеющие в плане фор му трапеции. Частоты и формы сво бодных колебаний могут быть най дены методом Рэлея-Ритца. Резуль

таты вычислений	Кадамбом и др.					[26] безразмерной частоты со* для
консольной трапецеидальной					пластинки даны в табл.				12.
Колебания треугольных пластин. В этом случае удобен метод Рнтца.
В системе координат уг, у« (рис.						3)	соответствующая		система урав
нений будет	Г Г [		/ д2ои \ 2			.	сРш	д2т
д	Г Г [		/ д2ои \ 2			.	сРш	д2т
<Эс„	] ] Г 1		(	ду\	)		У~ ду\	ду1 ду..
									д~и)
+ г Г [ ^ + “ 2(1										ду\ +
дю	д2ьи								дт)
Ч~2^ —— •—~т									Ж	4-
ду2	ду\	-	7	\| р й					Ж
		-	7	\| р й

+ №+	+ 7 [2{ьА+ “2(1~ ^ ( ж У +
+ 4 ( $ + а \ )	ди)
	~дуУ
	\| &Чх йуг = 0

Уч) .

а2 П1

Результаты вычислений Андерсеном [21] безразмерной частоты ю* свободных колебаний консольной пластинки, имеющей в плане форму равнобедренного (рис. 4, а) или форму прямоугольного (рис. 4, б) треугольника, приведены в табл. 13.

394	Колебания пластинок
18.	Частоты й>* = (Ш21 ( " ^ ) ^ ** ^ ормы СВободных колебаний консольной
	треугольной пластинки при различных отношениях а = ——

Форма колебаний

Г ::> О ::--

ГгТ :•••'

Форма колебаний

г - - .

	а
2	4	\|	8	14
7,149	7,122		7,080	7,068
30,803	30,718		30,654	30,638
61,131	90,105		157,70	265,98
148,8	269,4		493,4	863,6
	а
2	4			7
6,887	6,617			6,897

25,40

28,80

30,28

К более точным результатам приводит использованное Кристен сеном [27] приближенное представление пластинки как системы орто

гонально расположенных балок. Результаты вычислений безразмерной частоты

(о* = Ма» ( ^ ) 2

для консольной пластинки, являющейся в плане прямоугольным тре угольником, приведены в табл. 14. Для сравнения приведены резуль

таты эксперимента и вычисления по методу Ритца (использовано первое приближение).

Колебания пластинок других форм						395
			1
14. Приведенные частоты <а* = ша*			2	колебаний
пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника (а1= а 3 = о)
Метод определения			Номер формы
Метод определения	1	2 \|	3	4	5	6
	1	2 \|	3	4	5	6
Эксперимент...................	4,17	16,4	23.0	39,3	53,3	69,9
Разбиение на систему ба	4,35	16,8	23.0	38,9	53,6	60,3
лок ................	4,42	16,9	23,7	43,5
Метод Рэлея-Рнтца	4,42	16,9	23,7	43,5

Клейном [33] рассмотрены колебания треугольной пластин опертой по контуру.

Эллиптическая пластинка. Эллиптические координаты определя1

как два корня квадратного уравнения относительно					5:
	з — е1		= 1
	з — е1
Вид параметров Ламе упрощается, если				ввести новые		переменные
у1, у2 по формулам	1	___и	— (е1	е2)
У1	1	___и	— (е1	е2)
У1	= -	агей ■	е 1 — е 2
			е 1 — е 2
У2 =		1	250 — (<?1 е2)
У2 =	---- 2~ агссо$		ех—
			ех—
Параметры Ламе будут равны один другому:
н\ = н\ = н 1=			(сН 2ух — сов 2уг).
Линии у1 = сопз!	представляют		собой	эллипсы,	а	линии у2 =

= сопз1 — две ветви гиперболы. Дифференциальное уравнение колеба ний пластинки постоянной толщины в эллиптических координатах будет

о д	Да, +	рй	=	Ц-	(30)
.	1	/ а8	, у	\

+ в $ у

Моменты Мц , Мгг, Л112 и перерезывающие силы:

396	Колебания пластинок
..	О Г а2аи .	ЗЧя
		щ

Общее решение уравнения (30) имеет вид

00
№ = ^	[ А \ т Се/л (^х,			\|) сещ (1/2»		+	Агт Сет (У ь			^
т = 0
			00
X се#* (//г» — &)1 “Ь			2	[^зт	(#1 »&) 5вт (//а»				Н“ ^4/и ^
			т = 1
X 5вм (!/г»	— \|)5еГ«((/2,		— 1)1 -\|-		2 Г®1/пРеут (^1* 5)					^ 2' ^
					т=0
+ В,», Рек,„ (&,		- \| ) с е т ((/2,			- 5 )	+	2)	[Вз т 0еуш (Л, 5) X
							т = 1				(31)
X зет (//2,		\|) “г # 4/л*Зект О/ь				— &)5®т(1/2»				1)Ь	(31)
X зет (//2,		\|) “г # 4/л*Зект О/ь				— &)5®т(1/2»				1)Ь
					\|десьСет , сет , 5ет » $ет» Реут»
					Рект ,			Оеут,	С е к т — обычные
					I	модифицированные функции

^атье	порядка т;
6 =	4 -(« 1 — «г)а ® ^ Т Т -
Для пластинок без центрального
отверстия постоянные				Вьп сле
дует	положить равными				нулю.
Уравнение частот для эллип
тической пластинки,				защемлен
ной по контуру, имеет вид
[Сеш (Уш. \|)С е'(У ю . — I ) — 1С 4 ( у ш,	I) Сет	(</10,	— \|) ]		X
X [5 е„,(^о . $) Зет (Ую- - I ) — Ь*п (Ую. I ) Зет		(Ую>	— ?)]		= 0 .
					(32)

Первый корень уравнения (32) для эллиптических пластинок с полу осями а и Ь и различным эксцентрицитетом е дан на графике рис. 5 (ре-

Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг, 397

зультаты Шибаока [36]). Коллатц [13] методом Ритца б первом прибли жении для основной частоты колебаний получил выражение

10ЕА	/ ±	+ _ 2_ ,	М
Зр (1 - V 2)	( 4	3<%а\	4 )

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ, НАЧАЛЬНЫХ УСИЛИЙ В СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ИНЕРЦИИ ВРАЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА

Свободные колебания с большими амплитудами прямоугольной пла стины. В декартовой системе координат дифференциальные уравнения нелинейных колебаний пластинки (16) принимают вид

ОД Дщ)—		д2и)	д2Р		+ 2	д2и>	д2Р
		дх\	дх*			дх1дх2	дх1дх2
	д2ьи		д2Р	4-рЛ		д2ш			(33)
	дх;		дх[			~ ж ~ ч;
1	+	"Т Т		д2ы)		/ д2ьию	\2	_	0.
ЕН				дх\	~ \ д х 1дх2)			~
		д х 1

Первое уравнение системы (33) является дифференциальным уравне нием движения, второе — уравнением совместности деформаций.

Граничные условия для прогибов, перерезывающих сил и моментов совпадают с рассмотренными на стр. 373. Кроме того, должны быть поставлены по два условия на каждом краю для функции напряжений Р. Простейшими являются условия для свободного края хг = аг:

д'Р	д2Р		0	1*1 = °1).
0;	дх1 дх2	=	0	1*1 = °1).
дхо	дх1 дх2

а также для края с заданными усилиями

д2Р жг.	д2Р
• = Л Г ,11»	дх1 дх2 — — N12 (*1 — %) •
<3*2

Если на контуре заданы перемещения, то удобнее вместо уравне ний (33) использовать дифференциальные уравнения

,	1 я =	0,	дх1 '	_ 0.
дхх	дх2	’	дх1 '	дх2
ОД Дад —			д2ш	д2ш
ОД Дад —	дх\		2М12 дхх дх2	дх!	(34)
	дх\		2М12 дхх дх2	дх!	(34)

д2ии

+ рЛ дР

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009