402 Колебания пластинок
колебаний пластинки, полученные на основе отказа от гипотезы Кирх- гофа-Лява различными авторами, могут быть записан^ в следующей общей форме в декартовой системе координат х хх 2г [15]:
1 — V2 |
д2ф |
|
ш> + — |
Ё ~ |
р ж > |
2(1 + V) |
„ |
а20 _ |
Е |
р |
дГ- > |
здесь ш — прогиб; ф и 0 — функции, определяемые формулами |
||
Н_ |
|
|
2 |
|
|
2
1х_
2
2
Выражения для компонентов смещения иг и и2 в направлении х1 и х2 соответственно имеют вид
(41)
Формулы (41) можно рассматривать как разложение компонентов смещения иг, и2 по ортогональным функциям по координате г. Удер жано два члена — первый, учитывающий осредненный поворот, и вто рой, учитывающий искривление нормального элемента.
Напряжения в колеблющейся пластинке определяют по формулам
Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг 403
т* в -1г { А,» * + м *>К |
" С(1 |
||
|
рОН |
( |
дш \ |
Т 1 3 “ — |
(4) |
|
|
|
------- '< *> ('*— |
я г ) : |
|
|
2Р I |
|
|
Изгибающие и крутящий моменты, а также перерезывающие силы находят по формумам
М ,
СГУА2 |
Г |
и |
п\ и |
1 |
12 Р (I — V2) |
0 |
Р)РЛ |
] I |
|
•ж |
1 — V / |
д1х |
д12 |
\ |
РЕА
С*2 — I
2(\ + ч)
Функции Р (г), / (г) и /х (г) связаны между собой формулами
|
|
2 |
|
Г(г) = |
|/ ( г ) 4 г ; |
|
|
/1 (2) = |
" |
( 4) |
. |
|
12 \ Р г й г |
|
|
Иногда полагают /1 (г) = |
0. |
|
|
Параметр а равен либо нулю (это соответствует пренебрежению поперечным нормальным напряжением аз3), либо единице. Наиболее
употребительным для Р является значение — , допускающее
Нелинейность, начальные усилил, инерция вращения, сдвиг 405
При пренебрежении инерцией вращения нормальны эта же частота определяется формулой
рсо2 = О
V)
Из решения трехмерной задачи теории упругости вытекает, что при фиксированных значениях т1} т2 существует бесчисленное мно жество частот. Результату теории, основанной на гипотезе КирхгофаЛява, соответствует первый отличный от нуля корень уравнения частот
4гЛ |
(*? + к \ ) <Ь ^ |
= (й* + |
* ! + 4 |
У *Ь |
||
( л |
& х г2 |
р0>а . |
2 |
1,2 |
| у2 |
Рю2 \ |
^ 2 - * 1 + * 2 |
| р . Г3 - к \ + к2 ~ 1 _|_ 2ц ) • |
|||||
Результаты |
вычислений |
параметра |
частоты |
|
||
|
К= лсо |
|
|
2 |
|
|
по классической теории, уточненным теориям и трехмерной теории
упругости |
для |
квадратной (ах — а2 = |
а = |
40Л, V = 0,3) |
пластинки |
|||||
даны в табл. 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_1_ |
|
|
|
|
|
15. Частоты |
аа) |
Г2р (1 — V * ) "1 2 |
опертой квадратной пластины |
|||||||
V . — ---- |
|
_---- - |
||||||||
(а, = |
= а = |
Я |
Г |
Б |
^ |
|
числах |
ти т2 полуволн |
||
40Л; V |
= |
0,3) при различных |
||||||||
Метод |
|
|
'-'СЧ |
'-'"со |
сТсч |
сТсо |
СО СО |
|
0 * 0 |
|
Чи |
|
И! |
Тп |
|||||||
вычисления |
|
IIII |
11II |
II 1 |
II п |
IIII |
||||
|
|
ЕЕ |
|
ЕЕ |
ЕЕ |
е ё |
ЕЁ |
ЕЕ |
ЕЕ |
ЕЕ |
Гипотеза |
0,0642 |
|
0,160 |
0,321 |
0,257 |
0,417 |
0,577 |
3,14 |
6,40 |
|
Кнрхгофа-Лява |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уточненные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения: |
|
|
0,159 |
0,316 |
0,254 |
0,409 |
0,564 |
2,80 |
5,21 |
|
а = 0. *=-§■ |
0,0639 |
|
||||||||
а = 0. ц= 4 |
0,0640 |
|
0,159 |
0,317 |
0,254 |
0,411 |
0,566 |
2,84 |
5,36 |
|
а = 1. Р - - §- |
0,0640 |
|
0,159 |
0,317 |
0,254 |
0,411 |
0,566 |
2 ,8 6 |
5,38 |
|
Трехмерные |
0,0640 |
|
0,159 |
0,317 |
0,254 |
0,411 |
0,566 |
2 ,8 6 |
5,39 |
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
406 Колебания пластинок
ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ ПЛАСТИНОК НА КОЛЕБАНИЯ
Идея метода. Здесь приведены общие сведения об асимптотическом методе, позволяющем исследовать частоты и формы свободных колеба ний упругих тел при достаточно высоких волновых числах (подробнее см. работы [4—7]).
Согласно этому методу асимптотическое решение для форм свобод ных колебаний выражается в виде суммы внутреннего решения и попра вочных решений, которые называют динамическими краевыми эффек тами. Для каждой границы тела строят решения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и условиям на соответствующей гра нице. Число таких выражений равно числу границ. Затем полученные решения склеивают. Эта процедура аналогична склеиванию моментиых
ибезмоментных решений в теории оболочек или склеиванию вязких
иневязких решений в гидродинамике. Вообще говоря, это склеивание может быть выполнено только приближенно. Чем быстрее затухают краевые эффекты, тем меньше ошибка асимптотического решения. Процедура склеивания позволяет получить систему трансцендентных уравнений для параметров, определяющих как внутреннее решение, так и краевые эффекты. Затем может быть получено асимптотическое выражение для собственных частот. Что касается асимптотического выражения для свободных форм, то оно может быть построено для всей области, исключая окрестности углов и ргбер. Это типично и для дру гих методов, использующих идею краевого эффекта.
Динамический краевой аффект в пластинках. Применим асимптоти
ческий метод к однопролетным и многопролетным прямоугольным в плане пластинкам. При этом получим асимптотическое решение задач, точное решение которых неизвестно, а также задач, точное решение которых слишком громоздко.
Дифференциальное уравнение свободных колебаний пластинки постоянной толщины можно представить в виде
Д Д ш — ^ 1 а > = 0. |
(42) |
Следуя асимптотическому методу, порождающее (внутреннее) реше ние нужно искать в виде
да (* !. Хг ) = 51П к \ (.X! — Ы з т /г2 (* , — Е*). |
(43) |
где ^ и кг — неизвестные волновые числа; ^ и | 2 — фазы порожда ющего решения. Это выражение удовлетворяет уравнению (42) и соот ветствует частоте
_1_ |
|
* = ( * ? + ^ ) ( ^ ) 2 |
(44) |
Но выражение (43), вообще говоря, не удовлетворяет краевым усло виям. Исключением являются краевые условия Навье (см. стр. 375).
п |
■ • |
//I]Л у |
П1оЛ |
т2 — положитель- |
Для этих условии к1= |
------ , |
—=— , где тх и |
||
|
|
ах |
а2 |
|
ные целые числа. Для подчинения краевым условиям мы располагаем лишь четырьмя постоянными ки А2, | 1§ $2. При определенном выборе
П р и м е н ен и е а си м п т от ич еского |
м ет о да к ра сч ет у п ла ст и н о к 407 |
этих констант выражение (43) можно |
рассматривать как асимптотиче |
ское решение краевой задачи для определенных условий на контуре, справедливое в области, достаточно удаленной от контура пластинки. Внутренняя область и область краевых эффектов в колеблющейся пла стинке показаны на рис. 9.
Решение вблизи границы хг = 0 удобно искать в виде
ш С*1, Х2) = V? (*!) 51П к2 (х2 — 6а)- |
(45) |
Подставив выражение (45) в уравнение (42), после использования выражения (44) для собственной частоты можно получить дифферен циальное уравнение
№1У — 2к\\У" —
~(2к\к1 + к\)'Х' = 0. (46)
Соответствующее ему ха рактеристическое уравнение имеет два чисто мнимых и два действительных корня:
г\,г = ±1кй
Мнимые корни соответствуют порождающему решению (43), действи тельные корни — корректирующим решениям. Следовательно, в пла стинах всегда имеет место невырожденный неосциллирующий динами
ческий краевой |
эффект |
[4, 6]. |
|
|
Общее решение уравнения (46) имеет вид |
||||
|
\*7 = |
Сх 5Ш |
+ |
Са соз кхХх + |
+ С3 ехр |
|
|
+ |
С4ехр |
Если рассматривается граница хх — 0, то последний член должен быть отброшен, так как он неограниченно возрастает с увеличением хх. Среди оставшихся членов первые два полностью соответствуют порожда ющему решению (43), а первые три члена, взятые вместе
И? (дгО = 51П кг [хх— 61) + С ехр | — х{ (к\ + 2к\) 2 ], |
(47) |
описывают динамический краевой эффект в пограничной зоне. Пользуясь выражением (47), можно оценить ширину области дина
мического краевого эффекта. Так как постоянная С по порядку