Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

488

Теория аэрогидроупругости

4. Минимальные критические значения параметра К для пластинок конечных размеров (Nx = Nу=0)

(п оток — с в е р х зв у к о в о й , п ор ш н евая т ео р и я )

Флаттер оболочек и криволинейных панелей

489

соответствуют теоретическим результатам. Кривая 1относится к квадрат­ ной пластинке, защемленной по передней и задней кромкам и опертой по боковым кромкам. Экспериментальные точки * для этого случая обозначены квадратами. Кривые 2 и 3 относятся к бесконечной попе­ рек потока пластинке, защемленной по передней и задней кромкам. Кри­ вая 2 получена с использованием стационарной теории; кривая 3 — с использованием нестационарной теории. Кружками отмечены экспери­ ментальные результаты, относящиеся к конечным пластинкам, защемленным по передней кромке, упруго заделан­ ным на задней кромке и свободным на боковых. Белые кружки соответст­ вуют результатам Локка и Фына, чер­

ные — Сильвестра и Бейкера

и черно­

белые —- Андерсона. Кривая

4 отно­

сится к

первоначально выпученной

панели;

треугольники — эксперимен­

тальные точки, соответствующие этому случаю (белые — по работе Сильвестра и Бейкера и черные—по работе Эйсли). Подробнее см. работы (23, 46].

ФЛАТТЕР ОБОЛОЧЕК И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПАНЕЛЕЙ

Исходные уравнения. Исследование устойчивости упругих оболочек и кри­ волинейных панелей постоянной тол­ щины Н в потоке сжимаемого газа сво­ дится в общем случае к исследованию уравнений движения вида [15]

^ IIй +

^ 12у +

^13^ =

1 — V2

 

------ ЁК~

 

^21« +

^

^ 23^ =

1 — V2

(36)

-------<72:

Ьэ1и +

+

 

1 — V2

 

^33^ = — ' ЯЗ\

 

здесь Ьи — дифференциальные операторы, вид которых определяется геометрией срединной поверхности оболочки, наличием подкрепляющих элементов, системой координат и выбором того или иного варианта теории оболочек. Функции ц, о, ш описывают соответственно танген­ циальные и нормальное перемещения точек срединной поверхности. Компоненты нагрузки <71? <73, отнесенные к единице площади средин­ ной поверхности, определяют по формулам

•

д2и .

о

е.

I

о

Я\ = *- Р<Д) о р +

Я\* <7г = “

Роло ^ Г

+

Яч ;

<7з = “

 

д2ш

о

 

 

РоЛ0 5^2" + Р( — Ре +

 

 

* Ссылки на экспериментальные работы даны в обзоре [23].

490 Теория аэрогидроупругости

здесь р0 — плотность материала оболочки; А0 — приведенная толщина оболочки, которая при отсутствии подкрепляющих элементов равна А; ри Ре — соответственно внутреннее и внешнее давление на оболочку;

<7° — прочие статические или динамические нагрузки, при­

ходящиеся на единицу площади срединной поверхности.

К уравнениям (36) должны быть присоединены граничные условия. Если замкнутая оболочка или панель считаются бесконечно длинными в направлении потока, то предполагается, что решения на бесконеч­ ности ограничены в любой момент времени. Для оболочек и криволи­ нейных панелей конечных размеров граничные условия можно записать, зная в каждом конкретном случае способ закрепления торцов оболочки или кромок панели.

Бесконечно длинная круговая цилиндрическая оболочка. Следуя ра­ боте [5], операторы Ць возьмем в форме

 

^

, — V

 

 

 

 

 

 

а3

,

а2

 

дх2 +

2

* дз2 ’

Ь*2 “

2

'

дх*

дз2 »

 

 

 

-и*

=

1 +

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

’ дх дз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

 

3 — V

 

 

аз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

с2*4-дх2дз ’

(38)

 

 

 

 

 

 

 

а3

1 — V

 

а3

 

^1 3 = / -31 = т г “ 1 г - с 2 й (

 

 

 

дх дз2

где х, г,

0 — цилиндрические

координаты;

 

 

 

 

 

 

5 = Л 6;

с2

=

к2

л

д2

^

д2

(39)

 

12Д3

Л =

д^" +

3$а ‘

 

 

 

 

 

 

При

^ = $2 =

<7з=

0

решение задачи

ищем

в

классе волн, рас­

пространяющихся

вдоль

оболочки:

 

 

 

 

 

 

 

 

и =

1 \е1(П/—‘кх) соз л0;

 

 

 

 

 

 

с =

 

 

1~ кх> зш лб;

 

 

 

 

 

 

ьу = &1’ ^ 1~ кх) соз л0;

 

 

 

(40)

здесь Б, т), С — некоторые, вообще говоря, комплексные коэффициенты;

к = -т-----волновое число (А. — длина полуволны в направлении об-

л

разующих, см. рис. 10); л = 0,1, 2, 3, . . . Согласно линеаризированной потенциальной теории аэродинамическое давление может быть пред­ ставлено в виде

р1 = р,Яа, (П — Ш 1) \е 11ш~ кх) соз л 0;

)

 

(41)

ре = — реКа* (О — Ш е) \е 1 № ~кх>соз л0. |

Флаттер оболочек и криволинейных панелей

491

В формулах

(41) обозначено:

 

д. _

2п (ц ^ )

 

 

Че

 

 

( ^ ) ’

(42)

 

| Е/ — У | ;

 

 

ц = Л > Л| Л 1 ? - 1 | ; М ,

 

 

^0

 

при этом 1 п — одна из цилиндрических функций порядка п\ V =

-г-----

 

 

к

фазовая скорость распространения упругой волны в оболочке; р и М г вычисляются для случаев внешнего и внутреннего обтекания подста­ новкой соответствующих скоростей или 1!е.

Используя граничные условия для потенциала скоростей и формулы дифференцирования цилиндрический функций, получим

1

 

*п

 

(М ,<

1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ц + - п

(ЛГ,

>

I);

(43)

 

 

•>П

 

 

 

 

 

 

 

Кп-1

п

(/И,

<

1);

 

 

 

 

Кп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_1_

п — реК

 

(М ,

>

1,

V < (I);

 

а*

я<»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л — РеК / е ,

(Л4, >

1,

V > У).

(44)

IЯ<2)

Вформулах (43) и (44) ^ п и ]\1п — функции Бесселя действительного аргумента первого и второго рода; / п и Кп — функции Бесселя чисто

мнимого аргумента первого и второго рода; и Н ^ — функции Ганкеля первого и второго рода. Все цилиндрические функции вычи­

сляют для значения аргумента

г = р#.

 

комплексными. Можно

Коэффициенты а е при

1 оказываются

записать также

1п ~

Шп

 

 

 

 

1

('V >

У);

 

IV?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ае =

Ул +

 

IV

<

II).

(45)

 

 

 

*п + Ш

 

 

 

 

Отделяя вещественные и мнимые части, представим коэффициентыае

в виде

ае = а* — *р 51§п (V — У),

1

1

' Х - л у ; .

' ю ч к г

^ ' р ; , ) 2 + ю 2 '

492

Т е о р и я а э р о ги д р о у п р у го с т и

 

 

Коэффициент

а* >> 0

характеризует

приведенную массу

газа;

р > О — коэффициент демпфирования.

и

Р приведено

в

работе

Вычисление коэффициентов щ,

ае> а*

[47]. Графики для коэффициентов

а* и р показаны на рис.

14 и 15.

Критические скорости потока, при которых оболочка теряет устой­

чивость, можно

найти из

уравнения

 

 

 

 

V

V

 

1

 

(пфО).

 

(46)

/ ______________

 

Ь

О * -О * - х ( Й - ^ ) а

 

 

 

/= 1 /

Если п = 0, то число членов в левой части уравнения (46) сокра­ щается до двух.

В уравнении (46) через Й* обозначены частоты свободных колеба­ ний оболочки в вакууме (у = 1, 2, 3). Им соответствуют компоненты векторов (1, т]у, |у), характеризующие формы колебаний,

т

(Р«а< + Р<Д») % . ..

1

*

р,А

> У1

1 + ^ + 1? '

При достаточно больших волновых числах п частота преимуще­

ственно поперечных колебаний й х оказывается

значительно меньше

двух других частот. Пусть 0,\ < й^,

1; тогда уравне­

ние (46) можно представить в виде

 

а? — а2— х (й — ш )2 = о,

(47)

Частоту преимущественно изгибных колебаний в вакууме опреде­ ляют по формуле ____

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009