Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

здесь %к и — обобщенные координаты, первая из которых соответ­ ствует изгибу, вторая — кручению;, срл и — функции, удовлетворя­

ющие краевым условиям («например*, «балочные» функции). Подставляя выражения (17) в уравнения; (12) и применяя вариационный метод Галеркина, придем к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно §к и \к.

Вычисления показывают, что, удерживая в рядах (17) по одному первому члену, мы получаем качественно удовлетворительные резуль­ таты. Изгибно-крутильный флаттер поддерживается, следовательно, благодаря взаимодействию основных, форм изгибных и крутильных ко­ лебаний. На критическую скорость существенное влияние оказывает соотношение между парциальной собственной частотой изгибных ко­ лебаний и парциальной собственной частотой крутильных колебаний. В зависимости от соотношения параметров критическая скорость флаттера может оказаться как меньше, так и больше критической скорости дивергенции.

Колебания плохо обтекаемых стержней в потоке газа. Рассмотрим колебания плохообтекаемого тела, например, кругового цилиндра (рис. 7) в потоке газа. Характерным для этих колебаний является воз­ никновение в следу вихревой дорожки Кармана ‘При отделении от тела одиночного вихря циркуляция изменяется на величину, равную интен­ сивности вихря. Если за телом образуется вихревая дорожка Кармана,

то с тела попеременно через* равные интервалы1времени срываются вихри противоположного направления. Поэтому возникают периодические изменения подъемной силы, что-служит причиной-колебаний, происхо­ дящихпоперек направления потока..

Если цилиндр неподвижен, то* частота срыва вихрей' 0 может быть найдена из условия, что число Струхаля (приведенная" частота)

Более точное, эмпирическое, соотношение, справедливое для чисел Рейнольдса Ке, лежащих в диапазоне. 40 < К«е*< 5-103, имеет вид.

Амплитуда подъемной силы, действующей на неподвижный цилиндр, может быть найдена по формуле

собственных колебаний. Эксперименты показывают, что автоколебатель­ ные режимы с большими амплитудами устойчивы лишь вблизи частот,

удовлетворяющих соотношениям (18) и (19), а сдвиг фазы ют близок

кСледовательно, амплитуда колебаний может быть оценена по

формуле

А а р114 сЬ '

где числовой коэффициент 1 < * а«< 3,4 . Подробнее см. статьи [12, 43] и в литературных источниках, указанных в статье [12].

ФЛАТТЕР ПЛОСКИХ ПАНЕЛЕЙ (ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ)

Бесконечная пластинка. Рассмотрим бесконечную пластинку, обте­ каемую потоком газа. Ограничимся случаем простой гармонической волны, распространяющейся вдоль потока (рис, 10), и определим ско­

рость потока, при которой амплитуда волны начинает возрастать со временем. Движение бесконечной пластинки, обтекаемой с одной сто­ роны потоком газа с невозмущенной скоростью II, может быть описано уравнением

Здесь до — прогиб пластинки* О — цилиндрическая жесткость; Н— тол­ щина пластинки; р и р0 — плотности материала пластинки и газа соот­ ветственно; Ых — растягивающее усилие в срединной поверхности. Потенциал возмущений <р удовлетворяет волновому уравнению (3), условию

условиям ограниченности и условию излучения на бесконечности. Ре­ шение уравнения (26) ищем в виде

1те до0, П и к — константы, причем Лдо0 < 1. Выражение для потен­ циала скоростей имеет вид

где Мг — число Маха в относительном движении

Фазовая скорость V распространения упругой волны в пластинке при отсутствии потока имеет следующее значение:

„ 2 йк*+ Ы х

0 = рН

Характеристическое уравнение, соответствующее данному случаю, можно записать в виде

При сверхзвуковом обтекании (М > 1) и для не слишком больших длин волн критическая скорость определяется выражением

Для несжимаемой жидкости ЦКР= К0 (Л). Для последнего случая более точной является формула

Как уже было указано, формой движения пластинки при флаттере являются волны, распространяющиеся в направлении потока. В то же время волны, распространяющиеся вверх по потоку, всегда затухают. Скорость газа относительно бегущих волн всегда дозвуковая. Для малых длин волн (порядка толщины пластинки Л) гипотеза КирхгофаЛява становится неприменимой. В этом случае неустойчивое движение пластинки имеет вид волн Рэлея, а скорость Vо совпадает со скоростью их распространения [32, 33].

Прямоугольная пластинка, опертая по контуру. Рассмотрим прямо­ угольную упругую пластинку со сторонами аиЬ постоянной толщины к. Пусть пластинка оперта по всем кромкам, вмонтирована в абсолютно жесткую диафрагму и обтекается с одной стороны сверхзвуковым потоком газа с невозмущенной скоростью V (рис. 11). Уравнение малых

колебаний такой пластинки, под­ верженной постоянным растяги­ вающим усилиям Мх п Nу, имеет вид

Я Д Д ш - ( л ^ + Л ^ ) - Ь

+ рЛ ^ + ерА^ = р . (29)

Аэродинамическое давление будем определять по формуле стацио­ нарной трехмерной теории [68]:

где р = У М 2 — 1.

Интегрирование во второй формуле ведется по переднему конусу Маха. Разыскивая решение уравнения (29) в виде

придем к системе уравнений для определения />5:

|[я|*+яв ( х ) Т + ЛПЯ^х + Л а ( х ) Я^ “ ‘ ®*}х

а3р0хМа

О У Ш — 1 ’