Материал: Радиотехнические цепи и сигналы для дистанционного обучения. Останков А.В
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13
ВРЕМЕННЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
13.1. Цель работы
Цель работы — продемонстрировать возможность получения разнообразных по форме временных и частотных характеристик цифрового фильтра за счёт изменения весовых коэффициентов в его схеме.
13.2. Краткие теоретические сведения
Дискретным фильтром называют линейное устройство, предназначенное для обработки дискретных сигналов (последовательностей дискретных отсчётов), функционирующее в соответствии с правилом
R |
M |
|
s2 (k) =∑ ar s1(k−r) + ∑ bm s2 (k−m) |
(95) |
|
r=0 |
m=1 |
|
где s1(k) — отсчёты входного, s2(k) — отсчёты выходного сигнала, а константы ar и bm — коэффициенты прямой и обратной передачи сигнала в ветвях фильтра, часто называемые весовыми коэффициентами фильтра. Индексы r и m в обозначении весовых коэффициентов определяют число тактов, на которое задерживаются отсчёты соответственно входного и выходного сигналов до воздействия на данную ветвь.
Графически такое устройство принято отображать структурной схемой, показанной на рис. 84, где треугольниками обозначены масштабирующие устройства (умножители), изменяющие значения отсчётов в ar или bm раз, функциональные блоки с пометкой «T » — устройства задержки (памяти) сигналов на один такт, а элемент со значком «+» — многовходовой сумматор. При ненулевых весовых коэффициентах (bm) в ветвях обратной связи дискретный фильтр является рекурсивным, в случае отсутствия обратных связей (bm = 0 для любых m) — нерекурсивным (трансверсальным).
170
s1(k) а0 |
s2(k) |
T |
T |
а1 |
+ |
b1 |
T |
T |
аR |
bM |
|
Рис. 84 |
В отличие от дискретного фильтра в цифровом фильтре (ЦФ) производится нелинейная операция — квантование отсчётов по уровню — и дальнейшей обработке подвергаются числа в двоичном коде, соответствующие номерам уровней квантования, до которых округлены отсчёты сигнала. Если полагать, что число уровней квантования велико, то есть нелинейностью можно пренебречь, и не обращать внимания на то, в какой системе счисления выполняется обработка отсчётов сигнала в фильтре, то алгоритмы работы дискретного и цифрового фильтра будут идентичными. Таким образом, схема, приведённая на рис. 84, описывает структурную схему реализации цифрового фильтра.
Как уравнение (95), так и структурная схема на рис. 84, однозначно определяют свойства цифрового (дискретного) фильтра, однако более универсальными способами описания фильтра являются его импульсная и частотная характеристики.
Импульсной характеристикой цифрового фильтра называют безразмерную последовательность чисел ĝ(r), соответствующую реакции этого фильтра на единичный отсчёт, воздействующий на вход фильтра в начальный момент времени. Рекурсивный фильтр обладает бесконечной импульсной характеристикой, которая является сложной линейной функцией коэффициентов ar и bm. Импульсная характеристика нерекурсивного фильтра всегда конечна и совпадает с числовыми значениями его весовых коэффициентов ar.
Из линейности фильтра следует, что его реакция на произвольную входную последовательность отсчётов s1(k) равна
∞
s2 (k) = ∑ s1(k−r) gˆ(r).
r=−∞ |
(96) |
Выражение (96) является дискретным аналогом интеграла свёртки, используемого для анализа аналоговых цепей, и называется дискретной свёрткой функ-
ций ĝ(r) и s1(k).
Из принципа причинности, утверждающего, что реакция не может опережать воздействие, следует, что импульсная характеристика любого реализуемо-
171
го фильтра удовлетворяет соотношению ĝ(r) ≡ 0 при r < 0, поэтому при расчёте реакции на сигнал s1(k) реального фильтра в (96) можно ограничиться лишь неотрицательными индексами суммирования.
Комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра представляет собой комплексное число, модуль которого определяет, во сколько раз после прохождения через фильтр увеличивается амплитуда гармонического колебания, а аргумент — какое приращение получает начальная фаза колебания. Можно показать, что с импульсной характеристикой и весовыми коэффициентами ветвей фильтра его комплексный коэффициент передачи связан соотношением
∞
KɺT (ω) =∑ gˆ(r) exp(− j ω r T) =
r=0
R |
|
|
∑ ar exp(− jω rT) |
|
|
r=0 |
|
|
M |
bm exp(− jωmT) |
(97) |
1− ∑ |
|
|
m=1
Анализ и синтез цифровых фильтров производятся, как правило, с использованием z-преобразования. Z-образом дискретного сигнала s(k) называют комплексную переменную S(z), связанную с s(k) прямым z-преобразованием:
+∞ |
|
S(z) = ∑s(k) z−k . |
(98) |
k=0 |
Отношение z-образа выходного сигнала фильтра к z-образу входного называют системной функцией цифрового фильтра:
H(z) = |
S2 |
(z) |
. |
|
S1 |
(z) |
|||
|
(99) |
Соотношение (99) положено в основу методики анализа цифровых фильтров (например, при аналитическом расчёте выходного сигнала по заданным входному и схеме фильтра). Можно показать, что системная функция фильтра однозначно связана не только с его комплексным коэффициентом передачи
|
|
|
R |
|
|
|
|
∑ ar z−r |
|
H(z) = KɺT (ω) |
|
= |
r=0 |
, |
exp(jωT )=z |
|
|||
|
1− ∑ bm z−m |
(100) |
||
M m=1
но и с импульсной характеристикой:
172
∞ |
|
H(z) =∑ gˆ(r) z−r. |
(101) |
r=0 |
Соотношение (101), показывающее, что системная функция фильтра есть z-об- раз его импульсной характеристики ĝ(r), используют для синтеза цифровых фильтров (метод инвариантной импульсной характеристики).
Если в структурной схеме цифрового фильтра, показанной на рис. 84, устройства задержки (памяти) использовать для одновременной передачи сигналов, как по прямым, так и обратным ветвям, то общее число элементов памяти «Т » можно снизить практически вдвое. Однако при этом необходимо будет использовать уже два сумматора. Такая модифицированная структурная схема цифрового фильтра называется в литературе канонической (рис. 85).
s1(k) + |
а0 |
+ s2(k) |
|
T |
|
b1 |
а1 |
|
T |
bM
аR
Рис. 85
13.3.Подготовительное (расчётное) задание
13.3.1.Изобразить схему рекурсивного цифрового фильтра первого по-
рядка. Применительно к заданному в табл. 47 значению коэффициента b1 и интервалу дискретизации T = 2 мс рассчитать (см. материал п. 13.4) и изобразить в масштабе нормированную импульсную характеристику фильтра ĝ(r). Коэффи-
циент a0 принять равным единице.
Рассчитать постоянную времени τФ аналогового фильтра-прототипа и его полосу пропускания Пf.
Рассчитать в пределах от 0 до 4 Пf и построить на одном графике ампли- тудно-частотные характеристики цифрового фильтра KT( f ) и его аналогового прототипа K( f ).
173
Таблица 47
Вар-т |
b1 |
fР |
Q |
A |
a1 |
|
|
|
|
|
a2 |
a3 |
|
1, 16 |
0.81 |
100 |
20 |
2.0 |
1– |
|
|
|
|
|
+a1 |
+1 |
|
3 |
|
||||||||||||
2, 17 |
0.82 |
95 |
19 |
1.9 |
1– |
|
|
|
|
|
|
+a1 |
+1 |
|
2 |
|
|||||||||||
3, 18 |
0.83 |
90 |
18 |
1.8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
+a1 |
+1 |
4, 19 |
0.84 |
85 |
17 |
1.7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
+a1 |
+1 |
5, 20 |
0.85 |
80 |
16 |
1.6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
+a1 |
+1 |
6, 21 |
0.86 |
75 |
15 |
1.5 |
1– |
|
|
|
|
|
|
+a1 |
+1 |
|
2 |
|
|||||||||||
7, 22 |
0.87 |
70 |
14 |
1.4 |
1– |
|
|
|
|
|
+a1 |
+1 |
|
3 |
|
||||||||||||
8, 23 |
0.88 |
65 |
13 |
1.3 |
–1 |
|
|
|
|
|
+a1 |
+1 |
|
9, 24 |
0.89 |
60 |
12 |
1.2 |
–1 |
|
|
|
|
|
–a1 |
–1 |
|
10, 25 |
0.90 |
50 |
13 |
1.3 |
–2 |
|
|
|
|
|
–a1 |
–1 |
|
11, 26 |
0.91 |
60 |
15 |
1.4 |
–1– |
|
|
|
|
|
–a1 |
–1 |
|
|
2 |
||||||||||||
12, 27 |
0.92 |
70 |
18 |
1.5 |
–1– |
|
|
|
|
|
–a1 |
–1 |
|
|
3 |
||||||||||||
13, 28 |
0.93 |
80 |
20 |
1.6 |
–3 |
|
|
|
|
|
–a1 |
–1 |
|
14, 29 |
0.94 |
90 |
23 |
1.8 |
–1– |
|
|
|
|
|
–a1 |
–1 |
|
|
3 |
||||||||||||
15, 30 |
0.95 |
100 |
25 |
2.0 |
–1– |
|
|
|
|
|
–a1 |
–1 |
|
|
2 |
||||||||||||
13.3.2.Изобразить схему рекурсивного цифрового фильтра, имитирующего простой колебательный контур. По заданным в табл. 47 значениям резонанс-
ной частоты fР и добротности Q аналогового контура-прототипа рассчитать применительно к частоте дискретизации F = 500 Гц коэффициенты a1, b1 и b2 цифрового фильтра, обладающего теми же резонансной частотой и полосой пропускания, что и контур-прототип. Рассчитать и изобразить АЧХ аналогового контура-прототипа.
13.3.3.Изобразить схему рекурсивного цифрового фильтра, имитирующего систему связанных резонансных контуров. По заданным значениям резо-
нансной частоты fР, добротности Q и фактору связи А аналогового фильтрапрототипа (табл. 47) рассчитать его полосу пропускания Пf . Применительно к интервалу дискретизации T = 2 мс рассчитать коэффициенты a1, a2, a3 и b1, b2, b3, b4 цифрового фильтра, обладающего такими же параметрами, что и прототип. Дополнительно рассчитать коэффициенты b1, b2 и b3 применительно к фактору связи, увеличенному вдвое.
174