Материал: Радиотехнические цепи и сигналы для дистанционного обучения. Останков А.В
13.3.4. Изобразить схему нерекурсивного цифрового фильтра третьего порядка. По заданным в табл. 47 значениям коэффициентов a1, a2 и a3 (коэффициент a0 равен единице) рассчитать применительно к интервалу дискретизации T = 2 мс и начертить в масштабе нормированную импульсную характеристику цифрового фильтра ĝ(r). Рассчитать частоты f0, на которых АЧХ фильтра оказывается равной нулю.
13.4. Указания к выполнению расчётного задания
Системная функция цифрового фильтра, представленного на рис. 85 канонической схемой, содержащей четыре прямых и четыре обратных ветвей, определяется выражением
|
a + a z−1 |
+ a |
z−2 + a z−3 |
|
||
H(z) = |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
, |
1 − b z−1 |
− b z−2 |
− b z−3 |
− b z−4 |
|||
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
(102) |
где ar и bm — весовые коэффициенты (правой и соответственно левой части схемы). При a0 = 1, ar = 0 (r ≥ 1) и bm = 0 (m ≥ 2) фильтр обращается в рекурсивный первого порядка с нормированной импульсной характеристикой
gˆ |
|
|
br |
при r≥ 0, |
|
|
(r)= 1 |
при r<0, |
|
|
|||
|
|
|
0 |
(103) |
||
и с амплитудно-частотной характеристикой |
|
|
||||
KT( f ) = |
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
1 − 2b cos(2π f T) + b2 |
|||||
|
1 |
1 |
(104) |
|||
где T — тактовый интервал цифрового фильтра. Аналоговым прототипом подобного фильтра при b1 = exp(−T/τФ) является интегрирующая RC-цепь с нормированной импульсной характеристикой ĝ(t) = exp(−t /τФ) и АЧХ, определяемой формулой K( f ) = 1/[1 + (2π f τФ)2]½, где символом τФ обозначена постоянная времени RC-цепи. Расчёт фильтра-прототипа сводится, таким образом, к определению по заданному коэффициенту b1 постоянной времени τФ аналоговой RC-цепи.
При нулевых коэффициентах a2 = a3 = a4 = b3 = b4 = 0 системной функции (102) цифровой фильтр обращается в рекурсивный второго порядка. Если установить следующие значения весовых коэффициентов фильтра
175
a0 = 1, a1 = – e–αT·cos(2π fР T), b1 = 2·e–αT·cos(2π fР T), b2 = – e–2αT, |
(105) |
то выражение для его нормированной импульсной характеристики приобретает вид
gˆ |
e−rαT cos(2π fр r T) при |
r≥ 0, |
(r)= |
|
|
|
0 при r < 0. |
(106) |
Аналоговым прототипом фильтра с такой импульсной характеристикой является колебательный контур (последовательный, если речь идет о токе в контуре, и параллельный, если имеется в виду напряжение на контуре), обладающий резонансной частотой fР и добротностью Q = π·fР /α. Действительно, нормированная импульсная характеристика тока в последовательном колебательном контуре (напряжения в параллельном контуре) описывается, как известно, формулой ĝ(t) = e–αt·cos(2π fР t) (сопоставьте с формулой (106)). АЧХ колебательного контура рассчитывается в окрестности резонансной частоты по следующему выра-
жению: K( f ) = Q/[1 + (2Q∆f / fР)2]½.
Расчётное выражение частотной характеристики любого цифрового фильтра KT( f ) можно получить из системной функции H(z), если применить подстановку z = exp(j2π·f·T) и вычислить модуль полученного комплекснозначного выражения:
|
[a |
|
R |
cos(2πf rT)]2 |
R |
sin(2πf rT)]2 |
|
||
|
+ |
∑a |
+ [∑a |
|
|||||
0 |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
KТ( f ) = |
|
|
r=1 |
|
|
|
r=1 |
|
. |
|
M |
|
|
|
|
M |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(107) |
||
|
[1 − ∑ bm cos(2πf mT |
)]2 |
+ [ ∑ bm sin(2πf mT)]2 |
||||||
|
|
m=1 |
|
|
|
|
m=1 |
|
|
Рекурсивный фильтр четвёртого порядка может при определенных значениях коэффициентов ar и bm имитировать систему связанных резонансных контуров. Аналоговая система двух одинаковых контуров с резонансными частотами fР, добротностями Q и фактором связи A характеризуется нормированной импульсной характеристикой тока во втором контуре
gˆ(t) =e−αt sin(αAt) sin(2π fр t), где α = π fР/Q,
(108)
и двугорбой АЧХ (при факторе связи А ≥ 1), обладающей полосой пропускания Пf = fР [А2 + 2А + 1]½ / Q. Заменив в приведённой выше формуле (108) текущее время t на отсчётные моменты времени r T, нетрудно получить выражение им-
176
пульсной характеристики цифрового фильтра четвёртого порядка ĝ(r). Если же к этому выражению применить z-преобразование, то можно прийти к представленным ниже соотношениям, определяющим весовые коэффициенты ar и bm цифрового полосового фильтра четвертого порядка:
a0 |
= 0; a1 = e–α·T sin(α A T)·sin(2π fР T); a2 = 0; a3 = –a1·e–2·α·T; |
|
b1 |
= 4·e–α·T cos(α A T)·cos(2π fР T); b3 = b1·e–2·α·T; |
(109) |
b2 |
= –2·e–2·α·T [1 + cos(2α A T) + cos(4π fР T)]; b4 = –e–4·α·T. |
Выражения для АЧХ нерекурсивного фильтра третьего порядка при a0 = 1, a3 = 1 и a2 = a1 (все коэффициенты bm равны нулю), а также при a0 = 1, a3 = –1 и a2 = –a1 могут быть преобразованы от общего вида (107) к следующему конкретному:
4 |cos(π f T)||cos(2π f T) + (a1 |
− 1) 2| |
в 1-ом случае, |
|
KТ( f ) = |
|
|
|
4 |sin(π f T)||cos(2π f T) + (a1 |
+ 1) 2| |
во 2-ом случае. |
(110) |
Из выражения (110) несложно определить частоты f0, на которых АЧХ нерекурсивного фильтра обращается в ноль. Отсчёты импульсной характеристики нерекурсивного цифрового фильтра совпадают по количеству и числовым значениям с весовыми коэффициентами ar фильтра.
13.5. Описание виртуального стенда
Работа выполняется с использованием схемного файла «Digital filters.ewb», рабочее поле которого показано на рис. 86.
[K]
Sum1 |
[H] |
T1 |
T |
b1 |
|
|
|
T2 |
|
b2 |
[H] |
T3 |
|
|
|
b3 |
|
T4 |
|
b4 |
[F]
|
1 |
a0 |
Sum2 |
a1 
a2
a3
Рис. 86
Filter |
177
Фильтр реализован канонической схемой, в которой субблоки «а0»...«а3», «b1»...«b4» имитируют масштабирующие звенья (умножители), субблоки «T1»...«T4» — устройства задержки, а субблоки «Sum1», «Sum2» — многовходовые сумматоры.
Чтобы установить требуемое значение весового коэффициента, следует произвести двойной щелчок левой кнопки мыши по одноименному субблоку. В появившемся окне активировать меню «... Properties» двойным кликом мыши по иконке масштабирующего звена; изменить установленное по умолчанию усиление (Gain); закрыть окно субблока.
Требуемое время задержки отсчётов сигнала в элементах памяти «T1»...«T4» установлено по умолчанию (2 мс) и изменения не требует.
Ко входу фильтра в зависимости от положения переключателя «K» коммутируется либо источник гармонического напряжения (верхнее положение), либо генератор дискретных отсчётов единичной амплитуды. Если положение переключателя «H» соответствует показанному на рис. 86, на вход фильтра поступает одиночный отсчёт (для снятия импульсной характеристики). При переводе переключателя «H» в правое положение ко входу фильтра подводится периодическая последовательность отсчётов, следующих друг за другом с частотой 500 Гц (изменять её настоятельно не рекомендуется, поскольку этому значению соответствует задержка в элементах памяти).
Для наблюдения на выходе фильтра аналогового сигнала, а также снятия «вручную» частотных характеристик имеется возможность подключить на выходе (клавишей «F») восстанавливающий ФНЧ шестого порядка (субблок «Filter») с частотой среза АЧХ, равной 125 Гц.
Наблюдение сигналов на входе и выходе фильтра производится с помощью осциллографа (черным воспроизводится осциллограмма входного сигнала, красным — выходного). Анализ частотных характеристик можно производить автоматизировано активацией команды «AC Frequency...» меню «Analysis». Заметим, что поскольку частотные характеристики цифровых фильтров периодичны с периодом, равным тактовой частоте (в нашем случае 500 Гц), то в большинстве случаев достаточно снять частотные характеристики на интервале частот от нуля до частоты Найквиста, равной половине тактовой частоты (250 Гц).
13.6.Задания и указания к их выполнению
13.6.1.Исследование импульсной и частотной характеристик рекурсивного
фильтра первого порядка
Подготовить виртуальный стенд к исследованиям.
Загрузить файл «Digital filters.ewb». Проверить положение ключей: «K» должен быть установлен в нижнее положение, «H» — в левое положение, «F»
178
— в верхнее положение. Проверить параметры сигнала на входе цифрового фильтра (панель Function Generator): Frequency = 500 Hz, Duty cycle = 4%, Amplitude = 0.5 V, Offset = 0.5 V. При таких установках на вход фильтра поступает одиночный единичный отсчёт.
Установить единичное значение коэффициента a0 (a0 = 1; дальнейшее изменение a0 предусмотрено лишь в третьем пункте). Установить значение весового коэффициента b1 точно в соответствии с табл. 47.
Снять импульсную характеристику фильтра.
Произвести моделирование. Получить осциллограмму импульсной характеристики цифрового фильтра и нанести её изображение в масштабе на рисунок, полученный при выполнении п. 13.3.1 расчётного задания.
Пропустив сигнал, снимаемый с выхода цифрового фильтра, через восстанавливающий фильтр нижних частот, получить осциллограмму сглаженной импульсной характеристики, зарисовать её в масштабе и сравнить её с импульсной характеристикой аналогового фильтра-прототипа. По осциллограмме оценить постоянную времени фильтра (интервал времени, по истечении которого характеристика затухает в e раз по отношению к максимальному значению), сравнить с расчётным значением. Сделать выводы.
Снять амплитудно-частотную характеристику фильтра.
Предполагается, что измерение АЧХ фильтра в рамках данного пункта будет производиться «вручную», без использования команды «AC Frequency...» меню «Analysis».
Для измерения следует подключить ко входу цифрового фильтра источник гармонического напряжения («K» — в верхнее положение), установить амплитуду его колебаний, равной 1 В (Voltage = 0.707 V), далее по стандартной методике изменять частоту колебаний (Frequency) и фиксировать с помощью осциллографа амплитуду выходного колебания. Однако измерение частотных характеристик цифрового фильтра сопряжено с необходимостью учёта того, что цифровой фильтр является устройством параметрическим. Он вызывает появление на выходе новых спектральных составляющих, и потому требует для снятия частотной характеристики наличия на выходе фильтра нижних частот. Поэтому при измерении АЧХ следует предварительно подключить к выходу ЦФ восстанавливающий ФНЧ («F» — в нижнее положение). В пределах полосы прозрачности этого ФНЧ (от нуля до 125 Гц) и следует снимать АЧХ изучаемой модификации цифрового фильтра. Для снятия АЧХ в более высокочастотной области следовало бы иметь перестраиваемый по частоте аналоговый полосно-
пропускающий фильтр.
Итак, в пределах частотного интервала от 10 до 125 Гц произвести не менее 10-ти измерений, построить график экспериментальной АЧХ рекурсивного
179