Материал: Радиотехнические цепи и сигналы для дистанционного обучения. Останков А.В
4.Дайте определение коэффициента амплитудной модуляции. Как его рассчитать при модуляции тоном? Импульсами? Каковы предельные значения коэффициента модуляции? Что такое перемодуляция? К каким отрицательным последствиям может привести наличие у радиосигнала перемодуляции?
5.Как рассчитать спектр АМ-колебания при модуляции произвольным периодическим сигналом, располагая спектром модулирующего сигнала? Чем определяется в этом случае практическая ширина спектра АМ-сигнала?
6.Что понимают под мгновенной частотой радиосигнала? Набегом фазы? Какова связь между ними? Для заданного модулирующего сигнала приведите диаграммы изменения частоты и набега фазы ЧМ- и ФМ-сигнала. Изобразите временны́е диаграммы соответствующих радиосигналов.
7.В чём заключается суть частотной модуляции? Фазовой модуляции? В чём сходство и различие между ЧМ- и ФМ-сигналами? Можно ли по осциллограмме однозначно указать, к какому виду модуляции – ЧМ или ФМ – относится колебание?
8.Что такое девиация частоты? Индекс модуляции сигнала? Какой параметр является ведущим для ЧМ-сигнала? ФМ-сигнала? Почему? Как связаны между собой девиация частоты и индекс модуляции при модуляции тоном? Импульсами?
9.Чем определяются амплитуды спектральных составляющих и практическая ширина спектра сигнала с угловой тональной модуляцией?
10.Как по осциллограмме ЧМили ФМ-колебания оценить девиацию частоты, частоту несущей, частоту модуляции? Как те же параметры определить по спектру ЧМ (ФМ)-сигнала?
11.Как трансформируется с увеличением частоты модуляции спектр амплитуд ФМ-сигнала? ЧМ-сигнала? Как изменяется при этом практическая ширина спектра радиосигнала?
12.В чём выражается изменение спектра амплитуд АМ-, ЧМ-, ФМсигнала при уменьшении амплитуды модулирующего сигнала?
13.Объясните, почему спектр амплитуд сигнала с ЧМ при импульсной модуляции может быть несимметричным относительно несущей. При каком условии амплитудный спектр ФМ-колебания, модулированного тем же сигналом, будет также несимметричным?
14.Изобразите качественно спектр амплитуд сигнала с линейной частотной модуляцией. Как изменится спектр амплитуд такого радиосигнала с ростом девиации частоты?
15.В чём проявляется сходство и различие спектров АМ- и ЧМ (ФМ)- радиосигналов при модуляции прямоугольными (пилообразными) импульсами?
16.Для указанного вида угловой модуляции (ЧМ или ФМ) и формы моду-
лирующего сигнала (
или 
) изложите методику аналитического расчёта спектра амплитуд.
Литература: |
[1, с. 54-73], |
|
[2, с. 106-131], |
|
[3, с. 92-97; 100-111]. |
20
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ЧАСТОТНЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ
3.1. Цель работы
Цель работы — экспериментально выявить взаимосвязь между параметрами временных и частотных характеристик линейных электрических цепей на примере фильтров нижних частот.
3.2. Краткие теоретические сведения
Фильтром нижних частот (ФНЧ) принято называть линейную радиотехническую цепь, предназначенную для передачи на выход с минимальным ослаблением колебания, частоты которого не превосходят частоты среза FС фильтра. В то же время колебания с более высокими частотами в ФНЧ должны существенно ослабляться (рис. 8).
f < FС 
FС
ФНЧ f > FС 
Рис. 8
Будем полагать, что на вход фильтра подается напряжение, сигнал с выхода снимается также в виде напряжения.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи (обозначается K( f )) представляет собой зависимость от частоты отношения амплитуды выходного гармонического напряжения в установившемся режиме к амплитуде гармонического напряжения на входе цепи. Типичные АЧХ реального ФНЧ показаны на рис. 9, а. Следует заметить, что максимальное значение АЧХ (K0) пассивного ФНЧ, реализованного в виде LC-цепи, за счёт проявления резонансов может превышать единицу. Частота среза АЧХ фильтра нижних частот (FС) ограничивает сверху диапазон частот, в пределах которого значения АЧХ отличаются от максимального значения K0 не более чем в 
2 раз. Интервал частот с верхней граничной частотой, равной частоте среза FС, соответствует полосе пропускания ФНЧ (Пf), определяемой по уровню 1/
2 ≈ 0.707 или «минус» 3 дБ.
Фазочастотная характеристика цепи (ФЧХ, обозначается как ϕ( f )) представляет собой зависимость от частоты разности фаз выходного и входного гармонических колебаний в установившемся режиме работы цепи. Типичная ФЧХ фильтра нижних частот показана на рис. 9, б.
21
K0 |
|
|
f |
|
0 |
FС |
|
K0 |
а |
||
√2 |
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
0 |
FС |
Рис. 9 |
|
|
|
|
Вследствие инерционности фильтра нижних частот сигнал на его выходе всегда запаздывает по времени относительно входного сигнала (при гармоническом характере сигналов наблюдается запаздывание по фазе). Время запаздывания (задержки) многочастотного негармонического сигнала в ФНЧ может быть оценено априори по наклону начального линейного участка ФЧХ:
tЗ ≈ − |
1 |
|
dϕ( f ) |
|
(15) |
|
2π |
df |
|||||
|
|
|
f =0 |
(если значения ФЧХ выражены в градусах, коэффициент 1/(2π) заменяется на 1/360°). Временем задержки обычно характеризуют фильтр второго или более высокого порядка (n ≥ 2). Напомним, что порядок цепи (n) соответствует порядку дифференциального уравнения, описывающего переходные процессы в цепи. Оценка времени запаздывания tЗ по формуле (15), как правило, совпадает по величине с постоянной времени фильтра τФ: tЗ ≈ τФ. Постоянная времени цепи – есть интервал времени, по истечении которого огибающая свободного процесса в цепи затухает в e ≈ 2.718 раз по отношению к исходному значению. Параметр τФ обычно используется для описания фильтров первого порядка.
Дельта-импульсом называют виртуальный сигнал (рис. 10, а), описываемый δ-функцией: sδ(t) = S0 T δ(t), где S0 и T – амплитудный и временно́й коэффициенты; δ(t) = {∞, t = 0; 0, t ≠ 0}, причём площадь δ-функции полагается равной единице. Дельта-импульс служит для математического описания реальных сигналов. Применительно к конкретной цепи сигнал, например, прямоугольный импульс (рис. 10, б) может быть заменен дельта-импульсом, если его длительность Т существенно меньше постоянной времени (Т τФ), характеризующей продолжительность переходных процессов в цепи. Если рассуждать с частотных позиций, то ширина спектра сигнала Шf, претендующего на роль дельтаимпульса для заданной цепи, должна значительно превышать полосу пропуска-
ния цепи (Шf Пf).
Импульсной характеристикой (ИХ) называют нормированный отклик g(t) линейной цепи на воздействие дельта-импульса при нулевых начальных условиях. Нормирование заключается в последующем делении всех значений от-
22
клика на площадь входного импульса (S0 T). Типичный вид импульсной характеристики ФНЧ (при n ≥ 2) показан на рис. 11.
sδ(t) 
S0 T δ(t)
0 |
t |
а |
Рис. 10 |
|
S0 s(t)
0
Т |
t |
|
б |
0 |
t |
|
|
Рис. 11 |
Импульсная характеристика цепи связана с комплексным коэффициентом передачи обратным преобразованием Фурье:
∞ |
∞ |
|
g(t) = ∫ Kɺ( f ) ej2π f tdf = ∫ K( f ) ejϕ( f ) ej2π f tdf , |
(16) |
|
−∞ |
−∞ |
|
откуда следует, что АЧХ цепи совпадает со спектральной плотностью амплитуд импульсной характеристики цепи. Это означает, например, что расширение (сужение) полосы пропускания ФНЧ приводит к сжатию (соответственно расширению) его импульсной характеристики и уменьшению (возрастанию) вре-
мени tЗ (или τФ).
Переходной характеристикой линейной цепи называют её отклик h(t) на ступенчатое единичное воздействие, описываемое функцией 1(t) = {1, t ≥ 0; 0, t < 0}. Поскольку единичная функция 1(t) связана с δ-функцией интегральным преобразованием, то такая же связь характерна и для откликов h(t) и g(t):
t |
dh(t) |
|
|
|
h(t) = ∫ g(t)dt, g(t) = |
. |
(17) |
||
|
||||
−∞ |
dt |
|
||
|
|
|
||
Переходную характеристику считают безразмерной, нормируя её значения к величине ступенчатого входного воздействия, каковым является 1 В.
Основное назначение импульсной и переходной характеристик цепи заключается в оценке реакции цепи на сложные воздействия с помощью интеграла свёртки (Дюамеля).
В идеальном случае ФНЧ пропускает с одинаковым коэффициентом передачи спектральные составляющие сигнала в полосе частот от нуля до FС и полностью подавляет составляющие других частот. Это и определяет вид ампли- тудно-частотной характеристики идеального ФНЧ (рис. 12, а):
23
K0 |
при f [0,FC ], |
(18) |
KИФНЧ ( f )= |
при f [0,FC ], |
|
0 |
|
Однако прямоугольная АЧХ не гарантирует отсутствия искажений полезного сигнала (со спектром, ограниченным частотой FС) при его прохождении через ИФНЧ. Помимо сохранения формы амплитудного спектра сигнала необходимым условием отсутствия искажений является одинаковое время задержки в ИФНЧ всех спектральных составляющих колебания: tЗ( f ) = const. Последнее возможно только при наличии у ИФНЧ линейной фазочастотной характеристики (рис. 12, б):
ϕИФНЧ ( f ) = −2π f tЗ при f [0,FC ]. |
(19) |
KИФНЧ(f) |
|
ϕИФНЧ(f) |
f |
gИФНЧ(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K0 |
а |
0 |
FC |
б |
2K0 FC |
в |
|
|
|
|
|||
|
|
f |
|
|
|
t |
0 |
FC |
|
Рис. 12 |
0 |
1/(2FC) |
|
|
|
|
|
|||
Идеальный ФНЧ физически нереализуем: ни строгая равномерность АЧХ на каком-либо участке, ни её разрывы в каких-либо точках не могут быть воспроизведены на практике, так как соответствующая такой АЧХ импульсная характеристика
gИФНЧ (t) = 2K0 FC sinc[2πFC (t−tЗ )] |
(20) |
должна была бы отличаться от нуля на интервале, предшествующем моменту (t = 0) воздействия порождающего ее дельта-импульса (рис. 12, в). Обратите внимание на то, что временно́й интервал между двумя соседними нулями импульсной характеристики ИФНЧ обратно пропорционален величине 2FС.
Реальная АЧХ должна быть гладкой кривой, без разрывов и строго горизонтальных участков, в том числе с бесконечным затуханием. Однако можно получить сколь угодно хорошее приближение к частотным характеристикам ИФНЧ, аппроксимировав их такими функциями, которые могут принадлежать физически реализуемой цепи.
Поскольку фильтрация сигналов представляет собой важную техническую проблему, ей было уделено серьёзное внимание и установлено, что ряд
24