Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			2	1 cos 2t												a 2									a		2
		2	2	1 cos 2t												a 2			sin 2t				2		a		2
a									dt									1										.
a					2				dt						2			1	2							4		.
			0		2										2				2				0			4

														e x 1 t; x ln(t 2										1)
																		2t
ln 2																		2t
3.				e x 1dx dx																dt;
3.				e x 1dx dx													1 t 2			dt;
																	1 t 2
	0
										x 0 t 0; x												ln 2 t					1
												1					1				2					2
1										1					2 1 1
t				2t		dt		2					t		2 1 1				dt
t			1 t 2			dt		2							t 2		1		dt
0										0
			1		1																		2 1					.
								dt		2
								dt		2												0
2				dt							2 t arctgt											1

					0		1 t																					4
		0			0

3.5. Интегрирование по частям в определённом интеграле

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в a, b . Тогда, дифференцируя произведение, получим

du(x)v(x) udv vdu.

Проинтегрировав это тождество по х в промежутке a, b ,

получим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

b		b
udv uv	ba	vdu	(3.6)


a		a

Пример.

			dx
u ln(1	x);	du
u ln(1	x);	du	x
ln(1 x)dx		1	x
		v x.
dv dx;		v x.
60

;

		1		xdx			1	1	dx
x ln(1 x)			10				ln 2 dx

				x 1					x
										1
		0					0	0		1
		0					0	0
ln 2 x	1	ln(1 x)			1	ln 2 1 ln 2 2 ln 2 1.
ln 2 x	1	ln(1 x)			1	ln 2 1 ln 2 2 ln 2 1.
	0				0
	0				0

3.6. Несобственные интегралы b

При определении интеграла f (x)dx предполагалось a

1)промежуток a, b конечен;

2)функция f(x) определена и непрерывна в a, b .

Рассмотрим теперь интегралы, для которых эти условия нарушаются.

3.6.1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы первого рода)

Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке a, .

На данном промежутке

не существует опреде-

лённый интеграл, по-

y=f(x)

скольку нельзя разбить

промежуток a, на n

частей конечной длины.

Рис. 3

Тем не менее интегралы с бесконечными пределами встречаются как в математике, так и в приложениях. Однако это уже иные интегралы.

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) по бесконечному промежутку a x называют

		b
f (x)dx	lim	f (x)dx .
a	b a

Если предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Примеры.

lim

lim arctgx

1 x

lim arctgb arctg 0

. Интеграл сходится.

sin xdx

lim

sin xdx lim cos x

lim 1 cos b .

Предел не существует – интеграл расходится.

3. 1 xdxp . При каких р интеграл сходится и при каких расходится?

x p dx lim

x p 1

1) Пусть

p>1.

p 1

lim

. Интеграл сходится.

p 1

( p 1)b

p 1

2) Пусть p<1.

x p 1

dx x p dx lim

p 1

1 p

Интеграл расходится.

3) Пусть р=1.	dx	lim ln x	b	.


1 x		b	1

Интеграл расходится.

Замечание. Большинство свойств определённого интеграла (кроме оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняются.

Если f(x) непрерывна на промежутке , a , то анало-

	b			b
гично		f (x)dx		lim	f (x)dx .
			a
				a
	Если f(x) непрерывна на всей числовой оси, то
				c
	f (x)dx			f (x)dx f (x)dx .
					c

Интеграл, стоящий слева, называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части.

Часто бывает достаточно знать, сходится или расходится рассматриваемый несобственный интеграл. Для этого могут

быть полезны следующие теоремы.
	Теорема. Пусть для x a, выполняется соотноше-
ние 0 f (x) g(x) , тогда:

1)	если	g(x)dx сходится, то сходится и	f (x)dx ;
		a	a

2)	если	f (x)dx расходится, то расходится и		g(x)dx .
		a		a

Примеры.

1. Исследовать сходимость интеграла dx .

1 x2 1 e x

Сравним данный интеграл с известным сходящимся ин-

тегралом

. Так как при x 1

x2 1 e x

то

x2 1 e x

. Следовательно, интеграл сходится.

2. Исследовать сходимость интеграла

dx .

Действительно,

при x 1

x x

, а

расходится,

следовательно,

dx расходится.

3.6.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)

Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нём. Пусть функция f(x) определена и непрерывна при

a x b , в точке b терпит бесконечный разрыв (разрыв второго рода). В этом смысле определённый интеграл на a, b не может существовать, так как не существует предел интеграль-

Источник: https://studfile.net/preview/16565860/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
02_ЛР
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
07
07-20-FunctionGenomApplic-Metagenom
07. ПА_Лекция 7_Патология энд.жел
09_ЛР
1 Нет ответа Балл 1,0 Отметить вопрос
1 ответ