Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

52

3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Литература: [1, гл. 11, §§ 1 7].

3.1. Площадь криволинейной трапеции. Понятие определённого интеграла

К понятию определённого интеграла приводят многие задачи геометрии, механики и физики.

y

Рис. 2

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], причём f(x) >0. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ох, графиком y = f(x), и двумя прямыми: x = a и x = b.

Эта фигура называется криволинейной трапецией, отрезок [a,b] оси Ох – её основанием (рис. 2).

Найдём площадь этой фигуры. Разобьём отрезок [a,b] на n частей произвольным образом. Через точки деления х1, х2,…хn-1 проведем прямые, параллельные оси Оу. Криволинейная трапеция при этом разбивается на n частей. Обозначим длины элементарных отрезков через хk:

x0 x1 x0 ; x1 x2 x1;... xk xk 1 xk ;... xn 1 xn xn 1.

В каждом из элементарных промежутков возьмём произвольную точку k :

x0 0 x1 ; x1 1 x2 ;... xk k xk 1 ;...xn 1 n 1 xn .

53

Вычислим значения функции f(x) в этих точках: f 0 , f 1 ,... , f k ,..., f n 1 .

Каждую элементарную полоску с основанием xk заменим прямоугольником с тем же самым основанием xk и высотой f( k ) (k = 0, 1, 2,…n-1). Площадь каждого такого прямоугольника равна f( k ) хk.

При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:

Sn f 0 x0 f 1 x1 ... f k xk ... f n 1 xn 1

n 1

или Sn f k xk .

k 0

Ясно, что площадь Sn ступенчатой фигуры не равна площади криволинейной трапеции, а является лишь приближённым значением искомой площади. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичных интервалов (и больше n). Полоски становятся уже, т.е. ломаная линия будет теснее примыкать к кривой y f (x) .

За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремиться Sn, когда разбиение отрезка a, b делается сколь угодно мелким (если такой предел существует):

Здесь max xk - наибольшая длина элементарного отрезка.

Операция, приведшая к формуле (3.1) называется интег-

рированием функции на отрезке.

54