Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ных сумм. Возьмём произвольное число 0 и рассмотрим отрезок a,b , на котором функция f(x) непрерывна, а зна-

чит, существует определенный интеграл на этом отрезке.

Определение. Несобственным интегралом второго ро-

	0	b		b
	0		f (x)dx
да называется	lim		f (x)dx		f (x)dx .
		a		a

Если предел не существует или бесконечен, то несобст-

венный интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл с особенностью на нижнем пределе. Пусть f(x) непрерывна на a x b , при х=а имеет разрыв второго рода, тогда

f (x)dx

lim

f (x)dx..

Примеры.

Исследовать сходимость интегралов.

2 lim 1

2 .

lim

2 dx 2 lim

Интеграл сходится.

2. 0 xdxp . Установить, при каких р данный интеграл сходится.

1 . Интеграл расхо-

а) р=1, тогда

lim

lim ln x

дится.

b) p>1, тогда

lim

x p dx lim

x p 1

x p

p 1

1 p

lim

Интеграл расходится.

1 p

с) p<1, тогда

1 dx

lim

x p dx lim

x p 1

x p

p 1

lim

1 p

Интеграл сходится.

1 p

Если функция f(x) на отрезке a, b имеет несколько точек

разрыва первого рода. Тогда промежуток разбивают на частичные так, чтобы на каждом из них было по одной точке разрыва, расположенной на конце интервала

b	c	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
a	a	c

Если все интегралы в правой части сходятся, то сходится и интеграл в левой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и интеграл, стоящий справа.

Теорема. Пусть для всех х a x b , выполнено условие 0 f (x) g(x) , причём f(x) и g(x) непрерывны при a x b , а при x=b имеют бесконечные разрывы. Тогда

1) если g(x)dx

сходится, то сходится и f (x)dx ;

2) если f (x)dx

расходится, то расходится и g(x)dx .

Пример.

Исследовать

сходимость

интеграла

100

, используя теоремы сравнения.

При х=0 подынтегральная функция терпит разрыв. Срав-

4 x

ним данный интеграл с интегралом

100

, который сходится.

Так как

1					1			100			dx		100	dx
							, то								и данный
									3
3	x	24	x	x 3	4	x			3	x 24		x x3		4 x
								0					0

интеграл сходится.

Задачи для самостоятельного решения: [1, гл.12, №№ 10,

12, 19, 41, 45, 46], [3, №№ 1596 1599, 1613 1615, 1628 1631, 1636 1638], [4, гл.6, №№ 6.3, 6.5, 6.7, 6.11, 6.15, 6.41,

6.42, 6.55, 6.57 6.69, 6.81, 6.83, 6.86].

Задачи для самостоятельного решения

b
1. xn dx	(n 1).
a

5. ( x x2 )dx.

/ 2

8.cos xdx.

2. (3x2 1)dx.

6. sin xdx.

9. dx .

0 1 x2

2	dx						2
3.	dx		.		4. e x dx.
3.			.		4. e x dx.
1		x					1
1							1
3			dx
7.			dx			.


0		1 x 2
		/ 4			x2
10.					x2			dx.
10.				1	x2			dx.
		0		1	x2
		0

0	3x4	3x2	1
11.	3x4	3x2	1
				dx.
	1 x2			dx.
/ 4	1 x2
/ 4

14. x 3 x dx.

e dx

17.1 x1 (ln x)2 .

	2		1
12.		x2			dx.
12.		x2		4	dx.
			x	4
	1		x
	1

15. sin 2dx.

xdx

18. .

4x2

	1					dx
13.						dx			.



	0				4 x2
1				xdx
16.				xdx				.

		(x		2		1)	2
0		(x				1)
0

19.						dx				.

			3 2 cos x
	0

	/ 2															3
20.	sin x cos 2 xdx .												21.				x sin xdx.
	0															2
	1					dx										e
23.						dx					.	24.				ln 2 xdx.

			x		2	2x 2
	1		x			2x 2										1
	1															1
	1												1
26.	xe x2 dx.											27.	x2e x dx.
	1												1
	/ 2					dx							4				dx
29.						dx				.		30.					dx					.
29.										.		30.										.
	0		2 cos x										0 1								x
	1/ 2												4
	1/ 2			1 x									4						dx
32.				1 x				dx.				33.							dx						.
32.								dx.				33.													.
	0			1 x									0	1						2x 1
	0												0
	/ 2															1			dx
35.	cos x sin 2 xdx.											36.							dx					.
35.	cos x sin 2 xdx.											36.							x					.
	0															0		e					1
	0															0
	1				dx										/ 4
38.					dx				.			39.				sin 4xdx.


	0			x2 1												0
	3		dx									dx
41.			dx				. 42.					dx					. 43.						e x

		x x 2										25 x 2
	1										0												0
											0												0

22. ln xdx.

25. arctg xdx.

28. x2 a2 x2 dx.

31. x dx. x 1

/ 2

34.sin x cos 2 xdx.

1				dx
37.				dx			.

		e	x	e	x
0		e		e
0
/ 4
40. tg3 xdx.
	0
	1
dx. 44.				xdx				.

				1 x		2
	0			1 x
	0

Ответы

	bn 1 an 1																							6. 2. 7. ln(3
	bn 1 an 1
1.									.		2.		6. 3. ln2. 4. e(e – 1). 5. 1/3.																				10).
1.			n 1						.		2.		6. 3. ln2. 4. e(e – 1). 5. 1/3.																				10).
			n 1
8. 1. 9.					/ 4. 10.									arctg			.			11.		3						.		12. 21/8.
8. 1. 9.					/ 4. 10.									arctg			.			11.			arctg					.		12. 21/8.
													4			4							64				4
																							. 18.
13.	/ 6.				14. 10/3.									15. 0.		16.			1	. 17.						3		2	.	19.				.
13.	/ 6.				14. 10/3.									15. 0.		16.		4		. 17.							2		.	19.				.
																		4					2				2						5
20.		1	. 21.				5 . 22. 1. 23. аrctg 2.													24.			e – 2.	25.							ln 2.
20.	3		. 21.				5 . 22. 1. 23. аrctg 2.													24.			e – 2.	25.							ln 2.
	3																											3
						e2 5									a 4
						e2 5						.			a 4					3			30. 4 2ln 3. 31. 2ln2 – 1.
26. 0. 27.													28.		. 29.						.
26. 0. 27.								e					28.		. 29.						.
								e							16			9
	1
32.							3			.	33. 2 – ln2.						34. 1/3. 35. 1/3.								36. ln						2e	.
32.										.	33. 2 – ln2.						34. 1/3. 35. 1/3.								36. ln							.
	6					2																									e 1
		arctge / 4. 38.													ln(1			39. 1/2. 40.						1 ln 2						. 41.			ln		3	.
37.																	2).							1 ln 2											3
37.																	2).										2
																											2						2
42.				. 43. 1.							44. 1.
42.	10			. 43. 1.							44. 1.
	10

4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Литература: [1, гл. 12, §§ 1 5].

4.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Если f (x) 0 на отрезке a, b , то площадь криволиней-

ной трапеции вычисляют по формуле S= f ( x)dx .

Источник: https://studfile.net/preview/16565860/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
02_ЛР
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
07
07-20-FunctionGenomApplic-Metagenom
07. ПА_Лекция 7_Патология энд.жел
09_ЛР
1 Нет ответа Балл 1,0 Отметить вопрос
1 ответ