Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

k 0

называется интегральной суммой для функции f(x) при данном разбиении отрезка a, b на частичные и данном выборе промежуточных точек k .

Интегральных сумм для данной функции и данного отрезка можно составить бесконечно много, так как они зависят от способа разбиения отрезка a, b и от выбора точек k .

Если частичные отрезки становятся сколь угодно мелкими, т.е. max xk 0 , а число n элементарных отрезков в раз-

биении стремиться к бесконечности, то интегральная сумма будет каким-то образом изменяться.

Определение. Если существует предел интегральной суммы (3.2) при max xk 0 и если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные, ни от выбора промежуточных точек k , то этот предел называется определен-

ным интегралом от функции f(x) на отрезке a, b и обознача- b

ется: f (x)dx .

a

Здесь а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Таким образом, определенный интеграл - это число, записываемое в виде

f (x) 0 : определённый интеграл от неотрицательной функ-

ции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

55

3.2. Свойства определенного интеграла

Из определения вытекают следующие свойства.

руема на этом отрезке.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла

5. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на a, b , то оп-

ределённый интеграл их алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых

b b b

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .

a a a

Замечание. Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

6. Если отрезок a, b разбит точкой с на части, то инте-

грал по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям (при любом расположении точек a, b, и с).

b c b

f (x)dx f (x)dx f (x)dx .

a a c

56

- формула Ньютона – Лейбница.

Примеры. Вычислить определенные интегралы.

формулу Ньютона-Лейбница нельзя.

3.4. Замена переменной в определённом интеграле

b

Пусть необходимо вычислить f (x)dx , где f(x) – неко-

a

торая непрерывная функция.

Часто для нахождения первообразной приходится вводить новую переменную x (t) . При этом пользуются сле-

дующим правилом:

Теорема. Пусть выполнены следующие условия: 1. Функция f(x) непрерывна на отрезке a, b .

58

2.Функции (t) и (t) непрерывны в промежутке

, и a (t) b при t и

() a;( ) b .

3.Сложная функция f (t) непрерывна на ,

Тогда

Замечание. При вычисление неопределённого интеграла с помощью замены переменной в найденной первообразной Φ(t) приходилось возвращаться к старой переменной х. Если

в определённом интеграле наряду с переменной интегрирования заменить и пределы, то надобность возвращения к исходной переменной отпадает.