Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

11.

(1 y 2 )(1 x2 ) Cx2 .

12. 1 e y

C(1 x2 ).

13. y e x 2 .

y 2sin 2

x

1

15. y x.

16. 2e y2 / 2

14.

.

e

(1 e x ).

2

17.

y x ln x x 1. 18.

y ln x.

19.

y 2sin x 1. 20. y = 1

2

2

2

2

1

1

21.

x

2 2 y

.

22.

y x 1

.

23.

ln

x

2

1 .

9

9

y

24.

y x C e x . 25.

y Ce x x 1.

26.

y 1 Ce x3 / 3.

27.

y 3

C

.

28.

y

e x C

.

29.

y Cx3

x2 .

x

x

30.

y x2 C e x2 .

31.

y Cx2e1/ x x2.

32.

y Ce x

1

cos x sin x .

33.

y

C cos 2x

.

2

2 cos x

C e x2

ln Ctg

x

C

y 1

34.

y ln x

.

35.

y

.

36.

2

.

x

2x2

cos x

37.

y 2 sin x 1 Ce sin x . 38.

y

x2

C

. 39. y Cx2

e x .

4

x2

40.

y

1

. 41.

y2

ex 2

. 42.

y

1

.

2x C

x ln Cx

x 1/ 2 Ce

2 x

43.

y

1

. 44.

y

x

. 45. y

1

.

C ln x

ln x 1 Cx

Ce x2 x2

1

46.

y 2

1

. 47.

y

1

.

1 Ce x2

1/ 3x5 Cx2

y (n) f (x, y, y , y ,..., y (n 1) ) .

(6.10)

Определение. Общим решением дифференциального

уравнения n-го порядка называется функция

y (x, C1 , C2 ,...,Cn ) ,

зависящая от n произвольных постоянных C1 , C2 ,...,Cn

и такая,

что:

y

x x0

y

0

,

y

x x0

y , ... ,

y (n 1)

x x0

y

(n 1)

0

0

постоянные C1 , C2 ,...,Cn

можно подобрать так, что функция

y (x, C1 , C2 ,...,Cn ) будет удовлетворять этим условиям.

Соотношение вида

Ф(x, C1 , C2 ,...,Cn ) 0

называется об-

щим интегралом дифференциального уравнения.

y(n) f (x) .

(6.11)

Пример. Найти общее решение уравнения y sin x .

Решение. Последовательно проинтегрировав данное

уравнение,

получим

y

sin xdx cos x C1 ;

y

cos x C1 dx sin x C1 x C2 .

2. Уравнения вида

F x, y , y 0 ,

(6.12)

которые не содержат явным образом искомую функцию у.

Порядок

уравнения понижают

полагая y q(x) . То-

z x z z ln z

или

dz

x z(ln z 1)

, разделяя переменные, по-

dx

лучим

dz

x

dx

.

z(ln z 1)

x

ln(ln z 1) ln x ln C

или

ln z 1 xC , откуда z e1 C1x , воз-

1

1

вращаясь к переменной у,

приходим к уравнению y xe1 C1x .

Следовательно, y xe1 C1x dx . Применяя интегрирование по

частям, получим y

xe1 C1x dx

1

xe1 C1x

1

e1 C1x C

.

2

C1

C 2

1

Пример. Найти частное решение уравнения

y

y

x(x 1) ,

x 1

удовлетворяющее начальным условиям y(2) 1, y (2) 1.

Решение. Полагая

y q , преобразуем уравнение к виду

q

q

x(x 1) .

x 1

Это линейное уравнение первого порядка, удовлетво-

ряющее начальному условию.

Положим

q=uv,

тогда

dq

u

dv

v

du

.Подставим в

dx

dx

dx

уравнение

dv

v

du

vu

x(x 1) ;

dv

v

v

du

x(x 1) .

u

u

dx

dx

x

1

dx

x 1

dx

нуль.

Тогда

dv

v

,

разделяя

переменные,

получим

dx

x 1

dv

dx

,

интегрируя

уравнение, найдем ln v ln(x 1)

или

v

x 1

v x 1.

Для

определения

u имеем

уравнение

du

x ,

dx

u

xdx

x 2

C .

2

1

2

x

3

x

2

y q

x

C

(x 1)

C x C .

2

1

2

2

1

1

x 3

x

2

x 4

x

3

x 2

y

C x C

dx

C

C x C

2

2

2

1

1

8

6

1

2

1

Используя начальные условия

y(2) 1, y (2) 1 , найдем

16 8

4

8

1

8 6 C1 2 2C1 C2 ;

1 2

C2 ;

6

8

4

1

2C

C

;

1

4 2

C .

1

2

2

1

1

y

x 4

x 3

3

x 2

3x

1

1

(3x 4

4x 3 36x 2

73x 8).

8

6

2

3

24

3. Уравнения вида

F y, y , y 0 ,

(6.13)

ную х.

Делаем замену

y p y ,

(6.14)

то

есть

будем

считать р функцией от

у. Тогда

d 2 y

dp

dp

dy

dp

p. Подставляя эти выражения в исход-

dx 2

dx

dy dx

dy