Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

4. Векторное произведение двух векторов и - есть вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1. вектор направлен так, что векторы , и образуют правую тройку;

2) вектор ортогонален вектора и , т.е. , .

3) модуль , де - угол между двумя векторами и . Геометрически модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. .

Тогда .

5. Смешанное произведение трех векторов , и есть число равное по определению: .

Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллепипеда, построенного на этих векторах, т.е. . Заметим, что объем тетраэдра, построенного на трех векторах , и равен , где S_осн. – площадь основания тетраэдра, h –высота тетраэдра, т.к. основание тетраэдра есть треугольник, построенный на векторах и , то S_осн=(1/2) S_{параллелограмма}, следовательно,

.

Если заданы векторы в координатах , и , то

смешанное произведение.

1) Условие перпендикулярности векторов ( ):

или .

2) Условие коллинеарности векторов ( // ):

или = = .

3)Условие компланарности векторов , и : или

Пример. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А₁, А₂, А₃, А₄ и его высоту, опущенную из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А₃(рис.2).

Дано: А₁(-1;2;-3), А₂(4;-1;0), А₃(2;1;-2); А₄(3;4;5).

Требуется найти объем тетраэдра.

Решение. а) Объем тетраэдра равен 1/6 части объема

параллелепипеда, построенного на векторах

, , . Объем соответствующего параллелепипеда вычисляется через смешанное произведение векторов, совпадающих с ребрами тетраэдра, сходящимися в вершине А₁(рис.1):

Рис. 1

Найдем координаты векторов и их смешанное произведение: , ,

=

Откуда (куб. ед.)

б) Искомую высоту h найдем из формулы: h , где S_{основания} равна площади треугольника А₁ А₂ А₃.

Площадь треугольника А₁ А₂ А₃ равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах ,

Поэтому находим векторное произведение

=

Следовательно, S_{основания= =} =

= =2 (кв.ед.)

Таким образом h=3V_{тетраэдра}/S_{основания}=3^.5/(2 )=15 /4

Ответ:V_{тетраэдра}=5 (куб. ед.), h=15 /4(ед. длины)

8. Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость в пространстве.

1) Уравнение плоскости – это уравнение первой степени вида: Ax+By+Cz+D = 0, если А²+В²+С² 0, которое называется общим уравнением.

Коэффициенты А, В ,С можно рассматривать, как координаты вектора нормали =(A,B,C), перпендикулярного плоскости.

2) Уравнение плоскости, проходящей через точку

M₀(x₀, y₀ , z₀) перпендикулярно вектору :

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, (условие , где

=(x-x₀ , y-y₀ , z-z₀) лежит в плоскости).

3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M₁(x₁,y_1,z₁), M₂(x₂,y₂ ,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃) имеет вид:

-условие компланарности векторов , где , ,

, где

M(x,y_,z)- текущая точка данной плоскости.

4) Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:

,

где а,b,с – отрезки, отсекаемые плоскостью, на координатных осях соответственно, - абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями ox, oy, и oz.

5) Нормальное уравнение плоскости: , где - вектор- нормаль к плоскости единичной длины, проведены из начала координат,

p – расстояние от начала координат до плоскости (p>0).

Приведем общее уравнение плоскости к нормальному уравнению плоскости. Для этого умножим обе части общего уравнения плоскости на нормирующей множитель:

- полученное уравнение и будет нормальным уравнением плоскости. (Знак берется противоположным знаку D)

Расстояние от данной точки M₀ (x₀,y₀,z₀) до плоскости находится по формуле

где A,B,C-коэффициенты в общем уравнении плоскости,

Угол между двумя плоскостями вычисляется по формуле:

,

где под углом между двумя плоскостями понимается угол между их нормалями и .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

A₁ A₂+B₁ B₂+C₁C₂=0 (если ).

Условие параллельности двух плоскостей:

(если // ).

Прямая в пространстве

Канонические уравнения прямой имеют вид

,где =(m,n,p) – направляющий вектор прямой, точка M(x₀,₀y.z₀ ) лежит на прямой, т.е. прямая проходит через точку M₀ параллельно вектору .

Уравнение прямой в параметрической форме:

Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей

Уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z_{2 )} имеет вид:

.