Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

г) , где n целое число, n>0 ;

д) ,где с=const , причем .

е) =

Предел дробно-рациональной функции.

Пример. Вычислить

Решение. Здесь отыскивается предел отношения двух многочленов дробно-рациональной функции. Подстановка в данную функцию неопределенности вида . Следовательно, прежде чем преобразовать, а именно, числитель и знаменатель дроби разделить на (x-3), которые, согласно теореме Безу, делятся без остатка нацело (т.к. обращаются в ноль при x=3), т.е. можно представить: и _. Имеем:

Полученные после деления многочлены при будут бесконечно малыми. Поэтому снова каждый из них делим на бином (x-3) или раскладываем на множители квадратные трехчлены, найдя их корни. Ответ: 5/4

Таким образом, чтобы раскрыть неопределенность вида заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить множитель, равный нулю при предельном значении, и сократить на него. При раскрытии неопределенности вида надо числитель и знаменатель разделить на x в старшей степени, а затем перейти к пределу.

Предел иррационального выражения.

Пример. Вычислить

Решение. Имеем также неопределенность . Чтобы ее раскрыть, умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Ответ: 0.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида , в выражении, в котором числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом попытаться избавиться от иррациональности.

14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов

Пусть и - бесконечно малые функции, при , т.е. и , причем a может быть как числом, так и одним из символов , - .

Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения , . Если же число А=0, то бесконечно малая называется бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с . Если и , то бесконечно малая функция называется бесконечно малой порядка p по сравнению с бесконечно малой функцией . Бесконечно малые функции и называются эквивалентными, если . В этом случае пишут: ~ .

Теорема (о замене бесконечно малых функций им эквивалентными ). Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменяется, если каждую из них или какую-либо одну заменить им эквивалентными функциями.

Если при некотором предельном переходе функция есть бесконечно малая, то

Sin( )~ , tg( )~ ;

arcsin( )~ , arctg( )~ ;

ln(1+ )~ , ln(1+k )~k ,

~ , ~ ln a

15. Первый замечательный предел

Во многих случаях используется первый замечательный предел (х- длина дуг или угол, выраженный в радиана х) и предполагается известным, что . Иногда при отыскании предела полезно сделать замену переменной с тем, чтобы упростить вычисление предела и использовать известные пределы. Если пол знаком предела делается замена переменной, то все величины, находящиеся под знаком, должны быть выражены через эту новую переменную. Из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, надо определить предельное значение новой переменной.

Например, при нахождении предела

обозначаем t=kx , где при новая переменная ,

x=t/k. Тогда

(т.к.cos (0)=1). Полезно помнить, что , где k -постоянная величина. Например, при функция sin(x) и tg(x) эквивалентные бесконечно малые, т.е. sin(x)~tg(x); т.к. .

Пример . Найти

Решение. Применим сначала формулу тригонометрии

1-cos(t)=2sin²(t/2). У нас 1-cos(kx)=2sin²(kx/2), при ; sin²( )~( )².

По теореме “замены эквивалентной” получим

.

Заметим, что можно было воспользоваться первым замечательным пределом.

Ответ: k²/2.

Решение типовых задач на вычисление предела функций.

Пример. Вычислить

Решение. По формуле тригонометрии

sin(5(x+π))= sin(5x+5π)=- sin(5x).

Тогда

Поскольку при , sin(5x)~5x, e^3x-1~ 3x. Ответ:-5/3.

16. Вычисление предела показательно-степенной функции

При нахождении пределов вида =C

Следует иметь ввиду, что:

1) если существуют конечные пределы

и , то C=A^B, т.е.

имеет место формула

Заметим, что предельное значение а может обозначать и число, и один из символов ;

2) если и ,

то вопрос о нахождении затруднений обычно не вызывает. В том случае полезны иногда формулы:

;

3) если и , т.е. имеем неопределенность вида { }, то полагают , где при и, следовательно,

Проиллюстрируем общий прием вычисления таких пределов на следующем примере ( раскрытие неопределенности вида { }).

Пример. Найти

Решение. Здесь основание степени при ,а показатель степени , т.е. имеется неопределенность вида . Тогда

_. (Получили в качестве при ).

Замечание 1. При вычислении пределов выражений вида ,где , при , удобно иногда пользоваться формулой .

Замечание 2. При вычислении пределов полезно знать, что

а) если существует и положителен , то

; б) ;

в) .

17. Производная функции и ее вычисление

Если х и х₁ – значения аргумента х, а y=f(x) и y=f(x₁) - соответственно значения функции y=f(x) , то называется приращением аргумента х на отрезке [x; х₁], а

(или = ) называется приращением функции на том же отрезке [x; х₁], (см. рисунок), где ).