Документ: Строительная механика и конструкции. Сафронов В.С., Ефимов М, страницы 41-45

12.Safronov V.S., Antipov A.V.Experimental –design analysis of resonant vibrations of reinforced concrete road bridge span. Structural mechanics and constructures. - 2012. - Issue. 2(5). - P. 52-59.

13.Reference manual SAP2000. Kalifornia , Berkley USA. 2009. – 470p.

MODERN ALGORITHMS OF BAR SYSTEMS DYNAMIC ANALYSIS OF MOVABLE

SPRING LOAD

V. S. Safronov1, А. V. Antipov2

Voronezh State Technical University1

Ltd “Dortransproekt”2

Russian, Voronezh

1Dr of Tech. Sc. of department of Structural Mechanics, tel.: +7 (473) 2715230, е-mail: vss22@mail.ru 2Leading engineer

Dynamic models variants for description of mutual vibrations of vehicles and bridge spans are compared. They can be applied while using modern finite element complexes for assessment of dynamic affect of moving with constant speed along carriage way vehicles in dependence with accounting of inertia of bearing structures and temporary movable load. According to the analysis of certificated software systems there is concluded they do not give the opportunity for dynamic design of bridge structures under affect of vehicles with account of back coupling and kinematic disturbance from randomly located roughness on road surface. Only some software systems allow simulating bridge vibrations during movement of concentrated forces arbitrary system.

Algorithm of additional software plagins expanding opportunities of existing software complexes for account of inertness of moving vehicles and other factors connecting with it is given in the paper.

For explanation of suggested algorithm peculiarities there are presented the results of numerical investigations of beam rod system at spring load movement based on mutual application of American finite element complex SAP2000 and computer program Mathcad.

Keywords: rod system, movable inertia load, Algorithm o dynamic design, plagin construction, expending opportunities of modern software, Model example of design.

40

УДК 625.745.141/.12:62-752

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ НЕРАЗРЕЗНОГО ПРОЛЕТНОГО СТРОЕНИЯ МОСТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ

ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

А. Н. Аверин1

Воронежский государственный технический университет1 Россия, г. Воронеж

1 Канд. техн. наук, доц. кафедры строительной механики, тел.: +7 (473) 271-52-30, e-mail: AN_Averin @mail.ru

Рассматривается задача расчета колебаний неразрезного пролетного строения моста под действием подвижной нагрузки. Нагрузка прикладывается с эксцентриситетом по отношению к продольной оси моста. Расчетная схема пролетного строения моста представляется тонкостенным стержнем открытого профиля, а подвижная нагрузка - подрессоренным грузом, движущимся по неровному пути. Профиль неровного пути измерялся в натуре нивелированием по намеченной на проезжей части прямой линии и интерполировался кубическими сплайнами. Приведена система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая колебания системы «тонкостенный стержень + подрессоренный груз». С помощью метода конечных разностей выполнен переход от континуальной модели тонкостенного стержня к дискретной. На основе методики оценки связанности колебаний системы «неразрезная балка + подрессоренный груз» предложены различные алгоритмы интегрирования системы дифференциальных уравнений c переменными коэффициентами, описывающей совместные колебания дискретной модели и подрессоренного груза. При сильной обратной связи применяются неявные схемы прямого интегрирования, а при слабой - метод разложения решения по собственным формам колебаний. Исследованы особенности спектра частот свободных изгибно-крутильных колебаний неразрезных тонкостенных стержней. Для проверки изложенной теории расчета были произведены измерения колебаний пролетного строения неразрезного моста со схемой пролетов 36,75 м+5*63,0 м +36,75 м. В качестве подвижной нагрузки использовался загруженный автомобиль БелАЗ-540 массой 50,0 т. Нагрузка пропускалась с эксцентриситетом 2,0 м по отношению к продольной оси моста. Приведены экспериментальные и расчетные виброграммы. Отмечено удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных диаграмм, что указывает на адекватность выбранной нами расчетной схемы «мост + автомобиль» и натурного объекта.

Ключевые слова: колебания неразрезного пролетного строения моста под действием подвижной нагрузки, метод конечных разностей, свободные изгибно-крутильные колебания дискретных моделей неразрезных тонкостенных стержней, неявные методы прямого интегрирования дифференциальных уравнений, метод разложения решения по формам свободных колебаний.

1. Дифференциальные уравнения движения системы «тонкостенный стержень + подрессоренный груз»

В практике мостостроения имеют применение экономичные неразрезные сталежелезобетонные пролетные строения мостов прямолинейного и криволинейного очертания. Такие мосты считаются «узкими», так как их ширина значительно меньше длины наименьшего пролета. При движении нагрузки по мосту наряду с изгибом пролетного строения происходит его закручивание. Поэтому расчетную схему пролетных строений можно представлять тонкостенным стержнем открытого профиля прямолинейного или криволинейного очертания [1, 2].

Рассмотрим задачу вынужденных изгибно-крутильных колебаний неразрезного тонкостенного стержня под действием подрессоренного груза, движущегося по неровному пути

(рис. 1).

Рис. 1

___________________________

1. © Аверин А. Н., 2019

41

Дифференциальные уравнения движения системы «тонкостенный стержень + подрессоренный груз» имеют вид [3]

(1 к

)

2

(EJ

2v

) F (

2v

a

2

) 0,

0

t

x2

y x2

t 2

y t 2

(1

к

)

2

(EJ

2w

) F (

2w

a

2

) R(x,t) (x ) ,

x x2

x t2

x2

t2

0 t

(1 к

)[

2

(EJ

2

)

(GJ

)]

F (a

2v

(1)

0 t

x2

x

y t2

x2

d

,

2w

2

a

r2

)

e R(x,t) (x )

x

t2

m

d 2u

R( ,t) mg ,

dt2

где v(x,t),w(x,t)

- компоненты перемещения центра изгиба по главным осям Ox и Oy ;

(x,t) - угол закручивания сечения;

EJx , EJ y , EJ ,GJd -

изгибные, секториальная и

крутильная жесткости; - плотность материала стержня;

F - площадь поперечного сечения;

r 2 (J

x

J

y

) / F a x

2 a

y

2

-

полярный радиус инерции относительно центра изгиба;

ax , ay -

координаты центра изгиба относительно осей

xoy ;

(x ) - дельта функция,

фиксирующая положение груза;

(t) V0

t - текущая координата груза, движущегося со

скоростью V0 ; e - эксцентриситет приложения силы динамического давления; к0 - коэффициент неупругого сопротивления; u(t) - перемещение груза; m - масса груза; g - ускорение свободного падения.

Силовое возмущение R( ,t) в уравнениях (1) является функцией динамического

давления на путь. С учетом обратной связи эту функцию представим в виде [1]

R( ,t) c1[u(t) w( ,t) e ( ,t) H ( )]

d

H

,

(2)

k1[

u(t)

w( ,t) e

( ,t)

)]

dt

t

где c1 , к1 - коэффициенты жесткости и демпфирования рессор;

H ( ) - ордината профиля

под грузом.

Краевые условия для системы (1) имеют вид:

v(0,t) 0,v(l,t) 0; w(0,t)

[EJ

2v

]

[EJ

2v

]

y x

2

(0,t )

y x2

(l,t )

2

[EJ x2 ](0,t)

0, w(l,t) 0;				(0,t) 0, (l,t) 0;
			2 w				2 w				(3)
0	; [EJ			]	[EJ			]		0	;
		x x2				x x2
				(0,t)					(l,t )

[EJ 2 ](l,t ) 0 .x2

Используя метод конечных разностей, перейдем от дифференциальной задачи (1) - (3) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих совместные колебания дискретной модели неразрезного тонкостенного стержня и подрессоренного груза:

42

M	d 2Y (t)	K	dY (t)	CY (t) R,
	dt 2		dt

m

d 2u(t)

k

du(t)

c u(t) c

[

xi

w(x

1

,t)

xi 1

w(x

,t)]

(4)

dt 2

1

i

i 1

dt

hi

,

k [

xi

dw(xi 1,t)

xi 1 dw(xi 1,t)

] mg c H ( ) k

dH

d

1

h

dt

h

dt

1

1 d dt

i

xi 1 (t) xi .

В уравнениях (4) Y (t) - вектор, компонентами которого являются перемещения центра из-

гиба в направлении главных осей, и углы закручивания в узлах сетки. Считается, что подрессоренный груз расположен на i -м дискретном элементе стержня с координатами узлов

[xi 1, xi ].

Обозначим через

			,		,			,	(5)

расширенные матрицы и вектор и представим систему (4) в виде
M s	d 2U (t)	[Ks к1S( )]		dU (t)			[Cs c1S( )]U (t) P( ) .		(6)

	dt 2				dt
В уравнениях (6) S( (t)) - эволюционная матрица, характеризующая взаимодействие
подрессоренного			груза				и	тонкостенного	стержня;
P( ) [0,0,...0, mg с			H ( (t)) k			dH dH		,0,..,0]Т - составляющая вектора динамиче-

1				1 d			dt

ского давления, зависящая от положения груза на балке и возбуждаемых колебаний; H ( ) -

ордината профиля под грузом.

Таким образом, матрицы жесткости и демпфирования системы дифференциальных уравнений (6) имеют структуру, которая изменяется во времени при переходе груза с одного на другой дискретный элемент балки.

2. Методы и алгоритмы численного решения задачи колебаний тонкостенных балочных систем под действием подвижной нагрузки

Для численного решения системы дифференциальных уравнений (6) можно использовать различные методы интегрирования.

Расчет колебаний неразрезных балочных тонкостенных систем под действием подвижной нагрузки с использованием неявных методов прямого интегрирования рассматривался в работах [4, 5, 6, 7]. При таком походе на каждом временном шаге необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей. Эта схема интегрирования наиболее эффективна, когда матрицы жесткости и масс системы «неразрезная балка + подрессоренный груз» изменяются во времени (матрица демпфирования пропорциональна матрицам жесткости и масс). Такая ситуация возникает при сильной связанности колебаний неразрезной балки и подрессоренного груза (сильная обратная связь [1, 2]).

43

Методика оценки связанности колебаний системы «неразрезная балка + подрессоренный груз» приведена в [8]. Известно, что спектр собственных частот неразрезной балки с n пролетами состоит из зон сгущения с числом частот в каждой зоне, равным числу пролетов. При различном расположении подрессоренного груза на неразрезной балке определяются частоты, входящие в первую зону сгущения. Далее для каждой собственной частоты строится график ее изменения в зависимости от положения груза на балке. Если частота системы «балка + подрессоренный груз» отличается от соответствующей собственной частоты балки на 3 % и более, то связанность сильная, и надо проводить интегрирование связанной системы. Для оценки связанности колебаний обычно достаточно вычислить собственные частоты системы «балка + подрессоренный груз», располагая груз в середине наибольшего пролета. Оценку сверху связанности колебаний можно получить, рассматривая «квазирезонансный режим» колебаний, при этом жесткость рессоры задается так, чтобы собственная частота колебаний груза совпала с первой собственной частотой колебаний балки. Далее определяются частоты системы «балка + подрессоренный груз», при расположении груза в середине наибольшего пролета.

При слабой связанности колебаний балки и подрессоренного груза можно выполнять параллельное интегрирование уравнений балки и груза. В этом случае прогиб балки под грузом w( (t j )) вычисляется через прогибы балки в узлах сетки с предыдущего момента вре-

мени t j t (аналогично и скорости перемещений w( (t j )) ). Тогда элементы матриц

жесткости, демпфирования и масс в дифференциальных уравнениях колебаний дискретной модели балки во времени не изменяются. Следовательно, эффективная матрица перехода с одного временного слоя на другой, может быть заранее разложена в произведение нижней и верхней треугольных матриц и в результате время решения системы алгебраических уравнений на шаге интегрирования сокращается в два раза.

Наиболее эффективным методом расчета колебаний системы «тонкостенный стержень + подрессоренный груз» при слабой связанности является метод разложения колебаний стержня в ряд по собственным формам. Последующее преобразование уравнений вынужденных колебаний тонкостенного стержня методом Бубнова - Галеркина позволяет свести задачу к интегрированию разделенных дифференциальных уравнений.

Схемы прямого интегрирования достаточно эффективно можно применять и при расчете на подвижную нагрузку конструктивно-нелинейных систем. К таковым можно отнести неразрезную балку на односторонних опорах (упорах), работающих только на сжатие [9]. При различном положении нагрузки на балке отдельные опоры могут выключаться из работы, вследствие чего меняется расчетная схема системы «балка + подрессоренный груз». Действие подвижной нагрузки на балку, лежащую на одностороннем упругом основании, рассматривалось в работе [10]. Неявные схемы прямого интегрирования использовались при расчете колебаний сталежелезобетонной неразрезной балки под действием подвижной нагрузки с учетом раскрытия трещин в приопорной зоне [11].

3. Дискретные модели свободных колебаний неразрезных тонкостенных стержней

Методика и алгоритмы построения разрешающих уравнений свободных колебаний дискретных моделей неразрезных прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней на основе метода конечных разностей изложены в работах [12, 13, 14, 15, 16]. Там же проанализированы вопросы сходимости и точности собственных частот и форм свободных колебаний в зависимости от числа дискретных элементов. Установлено, что погрешность при определении собственных частот и форм зависит от номера частоты и с увеличением числа узловых точек в формах колебаний возрастает. При увеличении числа дискретных элементов

44

Материал: Строительная механика и конструкции. Сафронов В.С., Ефимов М

Смотрите также: