Материал: УМК Коровкин-Кулик

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

3.13.5. Прямой центральный удар двух тел

Удар двух тел называется центральным, если линия удара проходит через центры тяжести этих тел.

 

Определим изменение скоростей

 

двух тел при прямом центральном ударе

 

(рис. 3.11). Скорость первого тела будем

 

обозначать индексом 1, а скорость второго –

 

индексом 2. Допустим, что до удара скоро-

Рис. 3.11. К понятию

сти V1 и V2 направлены в одну сторону.

центрального удара двух тел

В ту же сторону направим линию удара.

 

При ударе первое из соударяющихся

тел воспримет ударный импульс – S , а второе – ударный импульс S . Ко- личества движения тел за все время удара изменятся следующим образом: m1(U1 − V1) = −S;

;

(3.120)

m2 (U2 − V2 ) = S.

 

Почленно складывая эти уравнения, получаем

 

m1V1 + m2V2 = m1U1 + m2U2 .

(3.121)

Скорости после удара найдем для двух случаев.

Неупругий удар

В этом случае оба тела после удара должны иметь одинаковую ско- рость, так как при неупругой деформации соприкосновение тел после уда- ра не прекратится

U1 = U2 = U .

Подставляя это значение в выражение (3.121), получаем

U = U = U

2

=

m1V1 + m2V2

.

(3.122)

 

1

 

m1

+ m2

 

 

 

 

 

Ударный импульс найдем из второго уравнения (3.120)

S =

m1m2

(V − V ) .

(3.123)

 

 

1

2

 

 

m1 + m2

 

 

Не вполне упругий удар

В этом случае будут две фазы удара. В конце первой фазы, в момент максимального деформирования соударяющихся тел, скорости последних будут одинаковы. Поэтому для первой фазы не вполне упругого удара ис- пользуется формула (3.122), выведенная для неупругого удара.

136

Количества движения тел за первую фазу удара изменятся следую- щим образом:

m1(U − V1) = −S1;

(3.124)

m (U − V ) = S ,

 

2

 

2

1

 

 

 

где S1 можно найти по формуле (3.123).

 

 

 

 

 

Изменение количества движения тел за вторую фазу удара

 

m1(U1 − U ) = −S2

;

(3.125)

m (U

2

− U ) = S

2

.

 

2

 

 

 

 

 

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2

= k ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1

 

 

 

 

 

то уравнение (3.125) можно записать в виде

 

 

 

 

m1(U1 − U ) = −kS1;

(3.126)

m (U

2

− U ) = kS .

2

 

 

 

1

 

 

Разделив первое (второе) уравнение (3.126) на первое (второе) урав-

нение (3.124), получаем соответственно

 

 

 

 

U1 − U

= k ;

U2

− U

= k .

(3.127)

 

U − V1

U − V2

 

 

 

 

Тогда U1 = (1 + k )U − kV1 ;

U2 = (1 + k )U − kV2 .

 

 

 

 

Далее, подставляя значение U, выраженное формулой (3.122), нахо-

дим скорости после удара:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U = (1 + k )

m1V1 + m2V2

− kV ;

U

2

= (1 + k )

m1V1 + m2V2

− kV .

(3.128)

 

 

 

1

 

m1 + m2

 

 

1

 

 

 

m1

+ m2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в формулу (3.128) подставить k = 0, придем к ранее полученной

формуле (3.122).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль ударного импульса за обе фазы

 

 

 

 

 

S = S + S

2

= (1 + k )S = (1 + k )

m1m2

 

(V − V ) .

(3.129)

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

Разность скоростей тел после удара, согласно уравнению (3.128), равна

 

 

 

 

 

 

U1 − U2 = −k (V1 − V2 ) .

 

 

 

(3.130)

137

3.13.6. Потеря кинетической энергии при неупругом прямом центральном ударе (теорема Карно)

Сумма кинетических энергий соударяющихся тел до удара

T ′ = m1V12 + m2V22 .

2 2

Сумма кинетических энергий тех же тел после неупругого удара

T ′′ = (m1 + m2 )U 2 , 2

где U определяется по формуле (3.122). Потеря кинетической энергии при ударе

 

 

T − T =

1

[m (V 2

− U 2 ) + m (V 2 − U 2 )] .

(3.131)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

1

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумму, стоящую в квадратных скобках, преобразуем следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m (V

2

− U 2 ) + m (V

2 − U 2 ) =

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

= m (V 2

+ U 2 ) + m (V

2 + U 2 ) − 2m V U − 2m V U =

 

1

1

 

 

 

2

2

 

 

 

1

1

 

2

2

 

 

 

= m (V − U )

2 + m (V − U )2.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

Тогда получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T ′ − T ′′

=

 

m (V − U )

2

 

 

m (V − U )

2

 

 

(3.132)

 

 

 

 

1

1

 

+

2

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Формула (3.132) выражает теорему Карно: потеря кинетической

энергии при неупругом ударе равна кинетической энергии, соответст- вующей потерянным скоростям.

Потерянными скоростями называются разности скоростей (V1 − U ) и (V2 − U ) .

Можно также получить выражение (3.132), не содержащее U:

 

T ′ − T ′′ =

m m

 

(V − V )

2

 

(3.133)

1

2

1

2

.

 

m1 + m2

 

 

2

 

 

 

138

3.13.7. Потеря кинетической энергии при не вполне упругом прямом центральном ударе

Сумма кинетических энергии соударяющихся тел до удара

T ′ = m1V12 + m2V22 .

2 2

Сумма кинетических энергий тех же тел после не вполне упругого удара

T ′′ = m1U12 + m2U22 .

2 2

Потеря кинетической энергии за время удара

T ′ − T ′′ = 1 m1(V12 − U12 ) + m2 (V22 − U22 ) .

2

Подставляя значения U1 и U2, выраженные формулами лучаем

T ′ − T ′′ = (1 − k

2

)

m m

 

(V − V )2

.

1

2

1

2

 

 

 

m1 + m2

 

 

2

 

(3.134)

(3.128), по-

(3.135)

При неупругом ударе, когда k = 0, формула (3.135) переходит в фор-

мулу (3.133).

3.14.Теория колебаний

3.14.1.Прямолинейное гармоническое колебательное движение материальной точки

Определим закон движения точечной массы m под действием силы, пропорциональной расстоянию от некоторого неподвижного центра и на- правленной в сторону последнего.

Через заданный центр О и

– a

O

 

m

a

 

 

 

 

 

 

положение точечной массы в не-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

который момент времени t прове-

 

 

 

F

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дем ось Ох (рис. 3.12). Если при-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нять за начало отсчета точку О, то

Рис. 3.12. К выводу дифференциального

по условию на данную точечную

 

уравнения движения (3.137)

 

 

массу будет действовать единст-

венная сила притяжения к неподвижному центру (называемая восстанав-

ливающей силой), изображенная вектором F . Проекция этой силы на ось Ох равна сх, где с – постоянный коэффициент, а х – координата.

139

Следовательно, в данном случае дифференциальное уравнение дви- жения точечной массы будет иметь вид

mx = −cx .

(3.136)

 

ɺɺ

 

 

 

 

Разделив уравнение (3.136) на m и обозначив

с

= ω2 , приводим его

 

 

 

 

 

m

к виду

 

 

 

 

 

ɺɺ

+ ω

2

x = 0 .

(3.137)

x

 

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что

общим решением уравнения (3.137) является

 

 

x = a sin(ωt + ϕ0 ) ,

(3.138)

где а и ϕ0 – постоянные.

Это уравнение представляет собой закон рассматриваемого движе-

ния. Как известно из кинематики, движение, происходящее согласно дан- ному закону, называется гармоническими колебаниями. В формуле (3.138) постоянная a, называемая амплитудой колебаний, представляет собой мак- симальное отклонение движущейся точечной массы от положения равно- весия (точки О). Аргумент синуса ωt + ϕ0 называется фазой колебаний в момент времени t, а угол ϕ0 – начальной фазой. Фаза и начальная фаза из- меряются в радианах. Величина

ω =

с

(3.139)

m

 

 

называется круговой (или угловой) частотой колебаний. Размерность круговой частоты [ω] = рад/с = 1/с.

Период колебаний – промежуток времени, после которого колеблю- щаяся точка возвращается в данное положение с той же скоростью,

T =

2π

= 2π

 

m

 

.

(3.140)

ω

 

 

 

 

c

 

Величина, обратная периоду,

 

 

 

 

 

 

ν = 1 ,

T

называется частотой колебаний. Единицей частоты служит 1 герц (обо- значается Гц). Частота 1 Гц соответствует 1 периоду в 1 секунду.

При t = 0 x0 = a ×sin j0 .

140

Источник: https://studfile.net/preview/16531417/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ