Материал: УМК Коровкин-Кулик

но остается величиной конечной. Поэтому координаты и радиус-вектор этой точки за время удара успевают измениться весьма мало. Можно счи-

Таким образом, изменение момента количества движения точки от-

носительно некоторого центра за время удара равно моменту ударного им-

пульса относительно того же центра.

Векторному уравнению (3.110) соответствуют три скалярных:

Если на точку при ударе действует не одна ударная сила, а несколь-

ко, то в полученных формулах под F следует понимать равнодействую-

щую всех этих сил.

Отметим, что изменение скорости материальной точки в результате удара вызывает соответствующее изменение ее кинетической энергии.

131

3.13.3. Удар материальной точки о неподвижную гладкую поверхность

Будем считать, что материальная точка (например, небольшой шар) массой т в некоторый момент времени ударяется о неподвижную гладкую поверхность (рис. 3.9). Нормаль n к поверхности в точке соприкосновения при ударе называется линией удара.

Угол между вектором скорости точки в момент начала удара v и

линией удара называется углом падения (угол α на рис. 3.9).

Угол между вектором скорости точки в момент окончания удара u и линией удара называется углом отражения (угол b на рис. 3.9). При a = 0 удар называется прямым. В случае прямого удара угол отражения b

тоже равен нулю.

При a ¹ 0 удар называется косым. В случае косого удара b ¹ 0 .

Рассмотрим прямой удар (рис. 3.10). Опыты показывают, что ско- рость после прямого удара меньше скорости до удара.

Рис. 3.9. К понятию удара материальной точки Рис. 3.10. К понятию прямого удара

Отношение k = U называется коэффициентом восстановления ско-

V

рости при ударе (или просто коэффициентом восстановления). Для реаль- ных тел 0 < k < 1.

Коэффициент восстановления определяется экспериментальным путем. Примерные значения коэффициента восстановления: для стали –

0,55; для дерева – 0,5; для стекла – 0,93.

Предельный случай, когда k = 1, называется вполне упругим ударом. Второй предельный случай, когда k = 0, называется неупругим ударом. При обычных значениях 0 < k < 1 удар называется не вполне упругим.

132

Не вполне упругий удар имеет две фазы. Первая фаза продолжается от момента соприкосновения тел до момента их максимального деформи-

рования. Длительность первой фазы удара будем означать τ1. Вторая фаза продолжается от момента максимального деформирования до момента разъединения соударяющихся тел. Длительность второй фазы удара будем обозначать τ2 . Следовательно,

τ1 + τ2 = τ .

При прямом ударе материальной точки о неподвижную поверхность

на точку действует ударная реакция поверхности N , направленная по нормали к последней.

Найдем изменение количества движения точки за первую фазу уда- ра. В конце этой фазы скорость точки обращается в нуль. Поэтому, считая направление скорости v отрицательным, будем иметь:

Разделим выражение (3.113) на (3.112), получим

133

mU = S2 , mV S1

откуда отношение величин ударных импульсов

3.13.4. Действие удара на механическую систему

Механическую систему можно подвергнуть действию внешних ударных сил. При этом возникнут ударные реакции связей, наложенных на систему, и скорости отдельных точек системы изменятся на конечную ве- личину в течение весьма малого промежутка времени. Изменение количе- ства движения системы за время удара будет равно геометрической сумме внешних импульсов. За время удара конечной величины достигают лишь ударные импульсы.

Поэтому

c

удара; М – масса системы; Vc и Uc – векторы скорости центра масс до и

после удара соответственно; Ske – внешний ударный импульс, приложен-

ный к k-той точке.

Векторному уравнению (3.115) можно придать следующий вид:

k =1

n

M (Ucz − Vcz ) = ∑ Skze . k =1

Поскольку за время удара координаты отдельных точек системы не успевают измениться заметным образом, координаты и радиус-вектор цен- тра масс также не изменяются за время удара.

134

Найдем изменение кинетического момента системы за время удара, суммируя изменения векторов моментов количеств движения всех точек. Для k-той точки, на основании уравнения (3.110),

M0 (mkUk ) − M0 (mkVk ) = M 0 (Sk ) .

Результирующий ударный импульс Sk , действующий на k-тую точку системы, слагается из внешнего и внутреннего ударных импульсов:

Sk = Ske + Ski .

Согласно теореме Вариньона

M 0 (Sk ) = M 0 (Ske ) + M 0 (Ski ) .

Поэтому изменение момента количества движения k-той точки за время удара равно

k =1

Из рассмотрения полученных результатов следует, что внутренние ударные импульсы не могут изменить за время удара не только количество движения системы, но и ее кинетический момент.

135